Dérivabilité d’une fonction numérique#

Soit \(I\) un intervalle ouvert de \(\mathbb{R}\) et \(f:I\rightarrow\mathbb{R}\) une fonction. Soit \(x_0 \in I.\)

Definition

\(f\) est dérivable en \(x_0\) si le taux d’accroissement \(\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}\) a une limite finie lorsque \(x\) tend vers \(x_0.\) La limite s’appelle alors le nombre dérivé de \(f\) en \(x_0\) et est noté \(f'(x_0).\) Ainsi

\[ f'(x_0)=\lim\limits_{\substack{x\rightarrow x_0}}\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0} \]

Définition

\(f\) est dérivable sur \(I\) si \(f\) est dérivable en tout point \(x_0\in I.\) La fonction \(x\mapsto f'(x)\) est la fonction dérivée de \(f,\) elle se note \(f'\) ou \(\frac{df}{dx}.\)

Exemple

La fonction définie par \(f(x)=x^2\) est dérivable en tout point \(x_0\in \mathbb{R}.\) En effet,

\[ \frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}=\frac{x^2-x_{0}^{2}}{x-x_0}=\frac{(x-x_0)(x+x_0}{x-x_0}=x+x_0\underset{x\to x_0}{\longrightarrow}2x_0 \]

On a même montré que le nombre dérivé de \(f\) en \(x_0\) est \(2x_0.\) Autrement dit: \(f'(x)=2x,\) pour tout \(x\in \mathbb{R}.\)

De même, on peut montrer que la fonction \(f(x)=x^3\) est dérivable sur \(\mathbb{R}\) et que \(f'(x)=3x^2,\,\forall x\in \mathbb{R}.\)

Définition

  • Soit \(f\) une fonction définie sur un intervalle de type \([x_0,x_0+\varepsilon[.\) On dit que \(f\) est dérivable en \(x_0\) à droite si

\[ \lim\limits_{\substack{x_{0}^{+}}}\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}=\ell\in \mathbb{R} \]

Dans ce cas le nombre \(\ell\) est appelé dérivé de \(f\) à droite en \(x_0\) et est noté par \(f'_d (x_0).\)

  • Soit \(f\) une fonction définie sur un intervalle de type \(]x_0-\varepsilon,x_0].\) On dit que \(f\) est dérivable en \(x_0\) à gauche si

\[ \lim\limits_{\substack{x_{0}^{-}}}\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}=\ell\in \mathbb{R} \]

Dans ce cas le nombre \(\ell\) est appelé dérivé de \(f\) à gauche en \(x_0\) et est noté par \(f'_g (x_0).\)

Exemple

La fonction \(f(x)=\sqrt{x}\) n’est pas dérivable à droite en \(x_0=0.\) En effet, on a

\[\begin{split} \lim\limits_{\substack{x \rightarrow 0 \\ x>0}}\frac{f(x)-f(0)}{x-0}=\lim\limits_{\substack{x \rightarrow 0 \\ x>0}}\frac{\sqrt{x}}{x}=\lim\limits_{\substack{x \rightarrow 0 \\ x>0}}\frac{1}{\sqrt{x}}=+\infty \end{split}\]

Proposition

\(f\) est dérivable en \(x_0\Leftrightarrow f'_d(x_0)=f'_g(x_0).\)

Opérations sur les fonctions dérivables#

Proposition

Soient \(f,g:I\rightarrow \mathbb{R}\) deux fonctions dérivables sur \(I.\) Alors pour tout \(x\in I:\)

  • \((f+g)'(x)=f'(x)+g'(x),\)

  • \((\lambda f)'(x)=\lambda f'(x)\) où \(\lambda\) est un réel fixé,

  • \((f\times g)'(x)=f'(x)g(x)+f(x)g'(x),\)

  • \((\frac{1}{f})'(x)=-\frac{f'(x)}{(f(x))^2}\) (si \(f(x)\neq0\)),

  • \((\frac{f}{g})'(x)=\frac{f'(x)g(x)-f(x)g'(x)}{(g(x))^2}\) (si \(g(x)\neq 0\))

Exemple

  1. Soit \(f:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}\) la fonction définie par \(f(x)=x+\mbox{exp}(x).\) \(f\) est dérivable sur \(\mathbb{R}\) car \(f\) est la somme de deux fonctions dérivables sur \(\mathbb{R}.\) De plus, on a \(f'(x)=1+\mbox{exp}(x),\) pour tout \(x\in \mathbb{R}.\)

  2. Soit \(g\) la fonction définie sur \(\mathbb{R}-\{1/2\}\) par \(g(x)=\frac{x^2+3x-1}{2x-1}.\) La fonction \(g\) est dérivable sur son domaine de définition et, pour tout \(x\in \mathbb{R}-\{1/2\},\) on a

\[ g'(x)=\frac{(2x+3)(2x-1)-2(x^2+3x-1)}{(2x-1)^2}=\frac{2x^2-2x-1}{(2x-1)^2} \]

Proposition

Si \(f\) est dérivable en \(x\) et \(g\) est dérivable en \(f(x)\) alors \(g\circ f\) est dérivable en \(x\) de dérivée:

\[ (g\circ f)'(x)=g'(f(x)).f'(x) \]

Corollaire

Soit \(I\) un intervalle ouvert. Soit \(f:I\rightarrow J\) dérivable et bijective dont on note \(f^{-1}:J\rightarrow I\) la bijection réciproque. Si \(f'\) ne s’annule pas sur \(I\) alors \(f^{-1}\) est dérivable et on a pour tout \(x\in J:\)

\[ (f^{-1})'(x)=\frac{1}{f'(f^{-1}))} \]

Le tableau suivant résume les principales formules à connaître où \(x\) est une variable réelle;

Fonction

Dérivée

\(x^n\)

\(n x^{n-1}\)

\(\frac{1}{x}\)

\(-\frac{1}{x^2}\)

\(\sqrt{x}\)

\(\frac{1}{2}\frac{1}{\sqrt{x}}\)

\(x^{\alpha}\)

\(\alpha x^{\alpha-1}\; (\alpha \in \mathbb{R})\)

\(e^{x}\)

\(e^{x}\)

\(\ln x\)

\(\frac{1}{x}\)

\(\cos x\)

\(-\sin x\)

\(\sin x\)

\(\cos x \)

\(\tan x\)

\(1+\tan^2 x=\frac{1}{\cos^2 x}\)

Le tableau suivant résume les principales formules à connaître de la composée des fonctions dérivable où \(u\) est une fonction dérivable;

Fonction

Dérivée

\(u^n\)

\(n u' u^{n-1}\, n\in \mathbb{Z}\)

\(\frac{1}{u}\)

\(-\frac{u'}{u^2}\)

\(\sqrt{u}\)

\(\frac{1}{2}\frac{u'}{\sqrt{u}}\)

\(u^{\alpha}\)

\(\alpha u' u^{\alpha-1}\; (\alpha \in \mathbb{R})\)

\(e^{u}\)

\(u' e^{u}\)

\(\ln u\)

\(\frac{u'}{u}\)

\(\cos u\)

\(-u' \sin u\)

\(\sin u\)

\(u' \cos u \)

\(\tan u\)

\(u' (1+\tan^2 u) =\frac{u'}{\cos^2 u}\)

Remarque

Si vous voulez dériver une fonction avec un exposant dépendant de \(x\) il faut absolument repasser à la forme exponentielle. Par exemple si \(f(x)=2^x\) alors on réécrit d’abord \(f(x)=e^{x\ln 2}\) pour pouvoir calculer \(f'(x)=\ln 2. e^{x\ln 2}=\ln 2 . 2^x.\)

Quelques applications de la dérivabilité#

Etude de sens de variation d’une fonction#

Proposition (Dérivée et monotonie d’une fonction)

Soit \(f:[a,b]\rightarrow\mathbb{R}\) une fonction continue sur \([a,b]\) et dérivable sur \(]a,b[.\)

  1. \(\forall x\in ]a,b[,\;f'(x)\geq 0 (\mbox{resp.}f'(x)>0)\Rightarrow f\) est croissante (resp. \(f\) est strictement croissante).

  2. \(\forall x\in ]a,b[,\;f'(x)\leq 0 (\mbox{resp.}f'(x)<0)\Rightarrow f\) est décroissante (resp. \(f\) est strictement décroissante).

  3. \(\forall x\in ]a,b[,\;f'(x)=0\Leftrightarrow f\) est constante.

Exemple

Soit \(g\) la fonction définie sur \(\mathbb{R}\) par \(g(x)=(1-x)e^x.\) On a

\[ \forall x\in \mathbb{R}:\;g'(x)=-e^x+(1-x)e^x=(-1+1-x)e^x=-xe^x \]

Donc \(g'(x)=0\Leftrightarrow x=0\) et \(g'(x)>0\Leftrightarrow x<0.\) En déduit que \(g\) est strictement décroissante sur \(]0,+\infty[\) et est strictement croissante sur \(]-\infty,0[.\)

Etude d’extremums d’une fonction#

Définition

On dit que \(f\) admet un maximum (resp. un minimum) en un point \(x_0\in D_f\) si

\[ \forall x\in D_f,\; f(x)\leq f(x_0)\quad (\mbox{resp.}\, f(x)\geq f(x_0)) \]

On dit que \(f\) admet un maximum (resp. un minimum) local en un point \(x_0\) s’il existe un voisinage \(I\subset D_f\) de \(x_0\) tel que

\[ \forall x\in I,\;f(x)\leq f(x_0)\quad (\mbox{resp.}\, f(x)\geq f(x_0)) \]

On dit que \(f\) admet un extremum (resp. un extremum local) si \(f\) admet un maximum ou un minimum (resp. un maximum local ou un minimum local).

Proposition (Dérivée et extremums locaux d’une fonction)

Soit \(f\) une fonction dérivable sur un intervalle \(I\) et soit \(x_0\) un point dans l’interieur de \(I\) tel que \(f'(x_0)=0.\)

\(\diamond\) S’il existe \(h>0\) tel que \(]x_0 -h,x_0 +h[\subset I\) avec \(f'>0\) sur \(]x_0-h,x_0[\) et \(f'<0\) sur \(]x_0,x_0+h[,\) alors \(f\) admet un maximum local en \(x_0.\)

\(\diamond\) S’il existe \(h>0\) tel que \(]x_0 -h,x_0 +h[\subset I\) avec \(f'<0\) sur \(]x_0-h,x_0[\) et \(f'>0\) sur \(]x_0,x_0+h[,\) alors \(f\) admet un minimum local en \(x_0.\)

Exemple

Considérons la fonction \(g\) définie dans l’exemple précédent \(g(x)=(1-x)e^x.\) D’après le tableau de variation de \(g,\) elle admet un maximum global en \(x_0=0\) puisque

\[ \forall x\in \mathbb{R};\; g(x)\leq g(0) \]

La fonction \(g\) n’admet pas de minimum (ni global ni local)

Théorème de Rolle-Théorème des accroissements finis#

Théorème(Théorème de Rolle)

Soit \(f:[a,b]\rightarrow\mathbb{R}\) telle que

\(\diamond\) \(f\) est continue sur \([a,b],\)

\(\diamond\) \(f\) est dérivable sur \(]a,b[,\)

\(\diamond\) \(f(a)=f(b).\)

Alors il existe \(c\in ]a,b[\) tel que \(f'(c)=0.\)

Exemple

Soit \(f(x)=x^3-x.\) On a \(f(-1)=f(1).\) De plus, \(f\) est continue et dérivable sur \(\mathbb{R}.\) En particulier, \(f\) est continue sur \([-1,1]\) et est dérivable sur \(]-1,1[.\) D’après le Théorème de Rolle, il existe \(c\in ]-1,1[\) tel que \(f'(c)=0.\)

Théorème (Théorème des accroissements finis)

Soit \(f:[a,b]\rightarrow \mathbb{R}\) une fonction continue sur \([a,b]\) et dérivable sur \(]a,b[.\) Il existe \(c\in ]a,b[\) tel que

\[ f(b)-f(a)=f'(c)(b-a) \]

Corollaire (Inégalité des accroissements finis)

Soit \(f:I\rightarrow\mathbb{R}\) une fonction dérivable sur un intervalle \(I\) ouvert. S’il existe une constante \(M\) telle que pour tout \(x\in I,\,|f'(x)|\leq M\) alors

\[ |f(x)-f(y)|\leq M|x-y|,\;\forall x,y\in I \]

Exemple

En utilisant le théorème des accroissements finis, on va montrer que

\[ x<e^x -1<xe^x,\;\forall x>0 \]

Fixons donc \(x\) tel que \(x>0\) et considérons la fonction \(f(t)=e^t\) sur l’intervalle \([0,x].\) \(f\) est continue sur \([0,x]\) et est dérivable sur \(]0,x[.\) Donc, d’après le théorème des accroissements finis, il existe \(c\in ]0,x[\) tel que

\[ f'x)-f(0)=f'(c)(x-0) \]

C-à-d: \(\exists c\in ]0,x[:\;e^x-1=xe^c,\) or, \(0<c<x\) implique \(1<e^c<e^x,\) donc puisque \(x>0,\) on a \(x<xe^c<xe^x.\) Ainsi \(x<e^x-1<xe^x.\)

Proposition (Règle de l’Hospital)

Soient \(f,g:I\rightarrow \mathbb{R}\) deux fonctions dérivables et soit \(x_0\in I.\) On suppose que

  • \(f(x_0)=g(x_0)=0,\)

  • \(\forall x\in I\setminus\{x_0\},\;g'(x)\neq0.\)

Si \(\lim\limits_{\substack{x\rightarrow x_0}}\frac{f'(x)}{g'(x)}=\ell \,(\ell\in \mathbb{R})\) alors \(\lim\limits_{\substack{x\rightarrow x_0}}\frac{f(x)}{g(x)}=\ell.\)

Exemple

Calculer la limite en 1 de \(\frac{\ln(x^2+x-1)}{\ln(x)}.\) On vérifie que:

  • \(f(x)=\ln(x^2+x-1),\, f(1)=0,\,f'(x)=\frac{2x+1}{x^2+x-1},\)

  • \(g(x)=\ln(x),\,g(1)=0,\,g'(x)=\frac{1}{x},\)

  • Prenons \(I=]0,1],\,x_0=1,\) alors \(g'\) ne s’annule pas sur \(I\setminus\{x_0\}.\)

\[ \frac{f'(x)}{g'(x)}=\frac{2x+1}{x^2+x-1}\times x=\frac{2x^2+x}{x^2+x-1}\rightarrow 3,\,qd \,x\rightarrow 1 \]

Donc, \(\frac{f'(x)}{g'(x)}\rightarrow 3,\,qd x\rightarrow 1.\)