Exercices#

Exercice 1#

Trouver les primitives suivantes :

  • a) \( \int (2x^2 + 3x - 5)dx\)

  • b) \(\int (x-1) dx\)

  • c) \(\int \dfrac{(1-x)^2}{\sqrt{x}}dx\)

  • d) \(\int \dfrac{x+3}{x+1}dx\)

Exercice 2#

Calculer :

  • a) \(\int x\sqrt{1+x}dx\)

  • b) \(\int x^3e^{2x}dx\)

  • c) \(\int x^2ln(x)dx\)

Exercice 3#

Soit \(f\) une fonction continue de \([a, b]\) dans \(\mathbb R\) telle que:

\[ \forall x \in [a, b], f(a+b-x)=f(x) \]

Montrer que :

\[ \int_a^b xf(x)dx = \dfrac{a+b}{2}\int_a^b f(x)dx \]

Exercice 4#

En utilisant la reconnaissance de forme déterminer toutes les primitives des fonctions suivantes :

  • \(f(x)=\dfrac{x}{1+x^2}\)

  • \( g(x) = \dfrac{e^{3x}}{1+e^{3x}}\)

  • \(h(x) = \dfrac{ln(x)}{x}\)

  • \(k(x) = cos(x)sin^2(x)\)

  • \(l(x) = \dfrac{1}{xln(x)}\)

  • \( m(x) = 3x\sqrt{1+x^2}\)

Exercice 5#

  • Calculer \(I_n = \int ln^n (x)dx\) pour \(n = 0; 1; 2\).

  • Calculer \(I_n\) en fonction de \(I_{n-1}\).

Exercice 6#

Calculer avec deux méthodes (reconnaissance de la forme et changement de variable) les primitives de la fonction suivantes :

  • \(f(x) = cos^{1234}(x)sin(x)\)

  • \( g(x) = \dfrac{1}{xln(x)}\)

Exercice 7#

Calculer les intégrales suivantes :

  • \(\int_0^{\frac{\pi}{2}} xsin(x)dx\) (par parties)

  • \(\int_0^1 \dfrac{e^x}{\sqrt{e^x}+1}\) (changement de variable)