Exercices#
Exercice 1#
Déterminer les limites suivantes :
\[
\lim_{x\to 1} \dfrac{\sqrt{x^2+3}+1}{2x-1}
\]
\[
\lim_{x\to +\infty} 2x^3+x^2-x+4
\]
\[
\lim_{x\to +\infty} \dfrac{2x+5x^2-7x^4}{x-10x^2 + 14x^3}
\]
\[
\lim_{x\to -\infty} \dfrac{3x+8x^2-2x^5}{x^2+2x^6}
\]
\[
\lim_{x\to +\infty} \sqrt{x^2+x} -x
\]
\[
\lim_{x\to \frac{\pi}{4}}\dfrac{\tan (x) - 1}{x- \frac{\pi}{4}}
\]
Exercice 2#
Soit \(f\) la fonction definit par:
\[
f(x) = \dfrac{(x+1)^2}{|x^2-1|}
\]
Determiner le domaine de definition de \(f\).
Etudier la limite de \(f\) en \(x_0 = -1\).
Exercice 3#
Les fonctions suivantes sont-elles prolongeables par continuité sur \(\mathbb{R}\)?
\[
f(x) = \sin(x)\sin(\dfrac{1}{x})
\]
\[
g(x) = \dfrac{1}{x}\ln(\dfrac{e^x + e^{-x}}{2})
\]
\[
h(x)= \dfrac{1}{1-x} - \dfrac{2}{1-x^2}
\]
Exercice 4#
Soient \(I\) un intervalle de \(\mathbb{R}\) et \(f : I\rightarrow \mathbb{R}\) continue, telle que pour chaque \(x \in I\), \(f(x)^2=1\). Montrer que \(f\) est constante et égale à \(1\) ou \(-1\).