Exercices#

Exercice 1#

Etudier la convergence des séries suivantes :

\[ \sum_{k=1}^{+\infty} \dfrac{1}{2k} = \dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{4}+ \dfrac{1}{6}+\ldots \]
\[ \sum_{k=1}^{+\infty} \dfrac{1}{2k+1} = \dfrac{1}{3} + \dfrac{1}{5}+ \dfrac{1}{7}+\ldots \]

Exercice 2#

Etudier la convergence des séries suivantes :

\[ S_1 = \sum_{n=2}^{+\infty} \dfrac{n^2+1}{n^2} \]
\[ S_2 = \sum_{n=2}^{+\infty} \dfrac{2}{\sqrt{n}} \]
\[ S_3 = \sum_{n=2}^{+\infty} \dfrac{(2n+1)^4}{(7n^2+1)^3} \]

Exercice 3#

Etudier la convergence des séries suivantes :

\[ S_4 = \sum_{n=2}^{+\infty} (1-\dfrac{1}{n})^n \]
\[ S_5 = \sum_{n=2}^{+\infty} (ne^\frac{1}{n}-n) \]
\[ S_6 = \sum_{n=2}^{+\infty} \ln (1+e^{-n}) \]

Exercice 4#

Déterminer la nature des séries dont les termes généraux sont les suivants :

  1. \(u_n = \left(\dfrac{n}{n+1}\right)^{n^2}\)

  2. \(u_n = \dfrac{1}{n\cos ^2 n}\)

  3. \(u_n = \dfrac{1}{(\ln(n))^n}\)

Exercice 5#

Justifier la convergence et calculer la somme des séries suivantes :

\[ \sum_{n\geq 10}(\sqrt{2})^{-k} \]
\[ \sum_{k\geq 1}(\dfrac{e}{\pi})^k \]

Exercice 6#

On considère la suite \((u_n)_{n\in \mathbb N}\) définie par \(u_0=1\) et, pour tout \(n\in \mathbb N\), \(u_{n+1} =\dfrac{2n+2}{2n+5}u_n\).

  1. Montrer que la suite \((u_n)_n\) est convergente. On note \(l\) sa limite.

  2. Montrer que la série de terme général \((\ln(u_n)- \ln(u_{n+1}))\) est une série divergente.

  3. En déduire la valeur de \(l\).

Exercice 6#

Etudier la convergence des séries \(\sum u_n\) suivantes :

\[ u_n = \dfrac{\sin (n^2)}{n^2} \]
\[ u_n =(-1)^n \dfrac{\ln (n)}{n} \]
\[ u_n =\dfrac{\cos (n^2\pi)}{n\ln (n)} \]