Exercices#
Exercice 1#
Démontrer que, pour tous \(x,y \in \mathbb{R}\):
\[
sh(x+y)=sh(x)ch(y)+ch(x)sh(y)
\]
\[
ch(x+y)=ch(x)ch(y)+sh(x)sh(y).
\]
Exercice 2#
Déterminer la valeur de \( \arcsin(-1/2), \arccos(-\sqrt 2/2), \arctan(\sqrt 3)\).
Exercice 3#
Calculer
\[
\arccos \left(\cos\frac{2\pi}3\right),\quad \arccos\left(\cos\frac{-2\pi}{3}\right),\quad\arccos\left(\cos\frac{4\pi}{3}\right),\quad \arccos\left(\sin\frac{17\pi}5\right).
\]
Exercice 4#
Soit \(a\neq 0\) un réel.
Déterminer la dérivée de la fonction \(f\) définie sur \(\mathbb{R}\) par \(f(x)=\arctan(ax)\).
En déduire une primitive de \(\frac{1}{4+x^2}\).
Exercice 5#
Simplifier les expressions suivantes :
\[
\tan(\arcsin x),\quad \sin(\arccos x),\quad \cos(\arctan x).
\]
Exercice 6#
Soit \(f\) la fonction définie par
\[
f(x)=\arcsin\left(2x\sqrt{1-x^2}\right).
\]
Quel est l’ensemble de définition de \(f\)?
En posant \(x=\sin t\), simplifier l’écriture de \(f\).
Exercice 7#
Montrer que, pour tout \(x\in[-1,1], \arccos(x)+\arcsin(x)=\frac\pi2\)