Exercices#

Exercice 1#

Comment définir \(\max(a,b,c),\) \(\max(a_1,...,a_n)\)? Et \(\min(a,b)\)?

Exercice 2#

  1. Écrire les nombres suivants sous forme d’une fraction : \(0,1212\) ;\(0,1212 ....\); \(78,33454545...\)

  2. Sachant \(\sqrt{2}\notin\mathbb{Q},\) montrer que \(2-3\sqrt{2}\notin\mathbb{Q},\) \(1-\frac{1}{\sqrt{2}}\notin\mathbb{Q}.\)

  3. Notons \(D\) l’ensemble des nombres de la forme \(\frac{a}{2^{n}}\) avec \(a\in\mathbb{Z}\) et \(n\in \mathbb{N}\). Montrer que \(\frac{1}{3}\notin D\). Trouver \(x\in D\) tel que \(1234<x<1234,001\)

  4. Montrer que \(\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}\notin \mathbb{Q}.\)

Exercice 3#

  1. Démontrer que si \( r\in \mathbb{Q}\) et \(x \notin \mathbb{Q}\) alors \(r +x \notin \mathbb{Q}\) et si \(r \neq 0\) alors \(rx \notin \mathbb{Q}\).

  2. Montrer que \(\sqrt{2}\notin \mathbb{Q}\).

  3. En déduire que : entre deux nombres rationnels il y a toujours un nombre irrationnel.

Exercice 4#

Montrer que \(\dfrac{\ln (3)}{ln (2)}\) est irrationnel.

Exercice 5#

Le maximum de deux nombres \(x\), \(y\) (c’est-à-dire le plus grand des deux) est noté \(\max(x, y)\). De même on notera \(\min(x, y)\) le plus petit des deux nombres \(x\), \(y\). Démontrer que : \(\max(x, y) = \dfrac{x+y+|x−y|}{2}\) et \(\min(x, y) = \dfrac{x+y−|x−y|}{2}\).

Trouver une formule pour \(\max(x, y,z)\).

Exercice 6#

Déterminer la borne supérieure et inférieure (si elles existent) de : \(A = \{u_n | n \in \mathbb{N}\}\) en posant \(u_n = 2^n\) si \(n\) est pair et \(u_n = 2^{−n}\) sinon.

Exercice 7#

Déterminer (s’ils existent) : les majorants, les minorants, la borne supérieure, la borne inférieure, le plus grand élément, le plus petit élément des ensembles suivants :

\[ [0, 1]\cap \mathbb{Q}; ]0, 1[\cap \mathbb{Q}; \mathbb{N}; \left\{(-1)^n + \dfrac{1}{n^2} | n \in \mathbb{N}^\star \right\} \]

Exercice 8#

Soient \(A\) et \(B\) deux parties bornées de \(\mathbb{R}\). On note \(A+B = \{a+b | (a,b) \in A\times B\}\).

  1. Montrer que \(\sup A+\sup B\) est un majorant de \(A+B\).

  2. Montrer que \(\sup(A+B) = \sup A+\sup B\).

Exercice 9#

Soit \(A\) et \(B\) deux parties bornées de \(\mathbb{R}\). Vrai ou faux?

  1. \(A \subset B \Rightarrow \sup A \leq \sup B\),

  2. \(A \subset B \Rightarrow \inf A \leq \inf B\),

  3. \(\sup(A\cup B) = \max(\sup A,\sup B)\),

  4. \(\sup(A+B) < \sup A+\sup B\),

  5. \(\sup(−A) = −\inf A\),

  6. \(\sup A+\inf B \leq \sup(A+B)\).

Exercice 10#

  1. Soient \(x\) et \(y\) deux réels. Montrer que \(|x|\geq ||x+y|-|y||.\)

  2. Soient \(x_1,\ldots,x_n\) des réels. Montrer que \(|x_1 +\ldots+ x_n|\leq|x1| + \ldots + |x_n|\). Dans quel cas a-t-on égalité?

  3. Soient \(x, y > 0\) des réels. Comparer \(E(x + y)\) avec \(E(x)+E( y).\) Comparer \(E(xy)\) et \(E(x)E(y).\)