Exercices#
Exercice 1#
Comment définir \(\max(a,b,c),\) \(\max(a_1,...,a_n)\)? Et \(\min(a,b)\)?
Exercice 2#
Écrire les nombres suivants sous forme d’une fraction : \(0,1212\) ;\(0,1212 ....\); \(78,33454545...\)
Sachant \(\sqrt{2}\notin\mathbb{Q},\) montrer que \(2-3\sqrt{2}\notin\mathbb{Q},\) \(1-\frac{1}{\sqrt{2}}\notin\mathbb{Q}.\)
Notons \(D\) l’ensemble des nombres de la forme \(\frac{a}{2^{n}}\) avec \(a\in\mathbb{Z}\) et \(n\in \mathbb{N}\). Montrer que \(\frac{1}{3}\notin D\). Trouver \(x\in D\) tel que \(1234<x<1234,001\)
Montrer que \(\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}\notin \mathbb{Q}.\)
Exercice 3#
Démontrer que si \( r\in \mathbb{Q}\) et \(x \notin \mathbb{Q}\) alors \(r +x \notin \mathbb{Q}\) et si \(r \neq 0\) alors \(rx \notin \mathbb{Q}\).
Montrer que \(\sqrt{2}\notin \mathbb{Q}\).
En déduire que : entre deux nombres rationnels il y a toujours un nombre irrationnel.
Exercice 4#
Montrer que \(\dfrac{\ln (3)}{ln (2)}\) est irrationnel.
Exercice 5#
Le maximum de deux nombres \(x\), \(y\) (c’est-à-dire le plus grand des deux) est noté \(\max(x, y)\). De même on notera \(\min(x, y)\) le plus petit des deux nombres \(x\), \(y\). Démontrer que : \(\max(x, y) = \dfrac{x+y+|x−y|}{2}\) et \(\min(x, y) = \dfrac{x+y−|x−y|}{2}\).
Trouver une formule pour \(\max(x, y,z)\).
Exercice 6#
Déterminer la borne supérieure et inférieure (si elles existent) de : \(A = \{u_n | n \in \mathbb{N}\}\) en posant \(u_n = 2^n\) si \(n\) est pair et \(u_n = 2^{−n}\) sinon.
Exercice 7#
Déterminer (s’ils existent) : les majorants, les minorants, la borne supérieure, la borne inférieure, le plus grand élément, le plus petit élément des ensembles suivants :
Exercice 8#
Soient \(A\) et \(B\) deux parties bornées de \(\mathbb{R}\). On note \(A+B = \{a+b | (a,b) \in A\times B\}\).
Montrer que \(\sup A+\sup B\) est un majorant de \(A+B\).
Montrer que \(\sup(A+B) = \sup A+\sup B\).
Exercice 9#
Soit \(A\) et \(B\) deux parties bornées de \(\mathbb{R}\). Vrai ou faux?
\(A \subset B \Rightarrow \sup A \leq \sup B\),
\(A \subset B \Rightarrow \inf A \leq \inf B\),
\(\sup(A\cup B) = \max(\sup A,\sup B)\),
\(\sup(A+B) < \sup A+\sup B\),
\(\sup(−A) = −\inf A\),
\(\sup A+\inf B \leq \sup(A+B)\).
Exercice 10#
Soient \(x\) et \(y\) deux réels. Montrer que \(|x|\geq ||x+y|-|y||.\)
Soient \(x_1,\ldots,x_n\) des réels. Montrer que \(|x_1 +\ldots+ x_n|\leq|x1| + \ldots + |x_n|\). Dans quel cas a-t-on égalité?
Soient \(x, y > 0\) des réels. Comparer \(E(x + y)\) avec \(E(x)+E( y).\) Comparer \(E(xy)\) et \(E(x)E(y).\)