Intégrale des fonctions en escalier#

\(a\) et \(b\) désignent deux réels tels que \(a < b \). Toutes les fonctions sont supposées définies sur \([a, b]\) et a valeurs réelles. Le but de l’intégration est de définir un nombre qui, pour une fonction \(f\) positive sur un segment \([a, b]\) , mesure l’aire délimitée par sa courbe représentative, l’axe des abscisses et les deux droites d’équations \(x = a\) et \(x = b\). Ce nombre sera appelé intégrale de \(f\) sur \([a, b]\) et notée :

\[ \int_a^b f(x)dx \]

Subdivision d’un segment#

Définition 1

  • On appelle subdivision de \([a, b]\) toute famille \(u=(x_i)_{i=0}^n\) telle que \(n \in \mathbb{N}^\star\) et

\[ a=x_0 < x_1 < \ldots < x_n=b \]

  • On appelle pas ou module de la subdivision \(u=(x_i)_{i=0}^n\), le reel

\[ \delta(u)=\max_{i \in [1, n]}(x_i - x_{i-1}) \]

Exemple

Une subdivision \((x_i)_{i=0}^n\) ou \(n\) un entier naturel non nul est dite a pas constant si:

\[ \forall i \in \{0, \ldots, n\}, x_i = a+i\dfrac{b-a}{n} \]

Son module est \(\dfrac{b-a}{n}\)

Définition 2

Si \(u\) et \(v\) sont deux subdivisions de \([a, b]\) , on dit que \(u\) est plus fine que \(v\) si tout élément de \(v\) est élément de \(u\).

Proposition 1

Pour toutes subdivisions \(u\) et \(v\) de \([a, b]\) il existe une subdivision plus fine que \(u\) et \(v\).

Fonctions en escalier#

Définition 3

Une fonction \(\varphi\) de \([a,b]\) dans \(\mathbb{R}\) est dite en escalier si l’on peut trouver une subdivision \(u=(x_i)_{i=0}^n\) de \([a, b]\) telle que \(\varphi\) soit constante sur chacun des intervalles \(]x_{i-1}, x_i[, (1\leq i \leq n)\). La subdivision \(u\) est dite adaptée à la fonction \(\varphi\).

Exemples

  • Une fonction constante sur l’intervalle \([a,b]\) est une fonction en escalier sur \([a,b]\).

  • La fonction partie entière est une fonction en escalier sur segment \([a,b]\) (pensez à une subdivision adaptée!).

Remarques:

  1. Une fonction en escalier prend un nombre fini de valeurs. En particulier, elle est bornée.

  2. Si \(u\) est une subdivision adaptée à une fonction \(\varphi\) en escalier, alors toute subdivision plus fine que \(u\) est adaptée à \(\varphi\).

  3. Si \(\varphi\) et \(\psi\) sont deux fonctions en escalier sur \([a. b]\), alors il existe une subdivision adaptée à \(\varphi\) et \(\psi\).

Proposition 2

L’ensemble des fonctions en escalier sur \([a, b]\) est un sous-espace vectoriel de l’espace des fonctions définies sur \([a, b]\)

Démonstration

Soient \(\varphi\) et \(\psi\) deux fonctions en escalier sur \([a, b]\).

Soient \(\lambda\) et \(\mu\) deux réels.

D’après la proposition 1 il existe une subdivision \(u=(x_i)_{i=0}^n\) adaptées à \(\varphi\) et \(\psi\). Donc les deux fonctions sont constantes sur \(]x_{i-1}, x_{i}[\) Il en est de même pour \(\lambda \varphi + \mu \psi\) (constante sur \(]x_{i-1}, x_{i}[\)). Donc, \(u\) est une subdivision adaptée pour \(\lambda \varphi + \mu \psi\) qui est par la suite une fonction en escalier.

Les autres conditions sont faciles à vérifier !

Intégrale d’une fonction en escalier#

Proposition 3

Soit \(\varphi\) une fonction en escalier sur \([a, b]\) et \(u=(x_i)_{i=0}^n\) une subdivision adaptées à \(\varphi\). Soit \(c_i\) la valeur prise par \(\varphi\) sur \(]x_{i-1}, x_i[\) pour \(i \in \{1, \ldots, n\}\) (i.e \(\varphi(x)=c_i\) pour tout \(x \in ]x_{i-1}, x_i[\)). Alors la quantité

\[ \sum_{i=1}^nc_i(x_i-x_{i-1}) \]

ne dépend pas de la subdivision choisie.

Cette quantité s’appelle l'intégrale de \(\varphi\) sur \([a, b]\) et on le note:

\[ \int_a^b \varphi(x)dx=\int_{[a, b]}\varphi \]

Démonstration

Pour toute \(u\) une subdivision adaptée à la fonction \(\varphi\), on note

\[ I(\varphi, u)= \sum_{i=1}^nc_i(x_i-x_{i-1}) \]

Le but est de montrer que \(\forall u, v\) subdivision adaptée à \(\varphi\), \(I(\varphi, u)=I(\varphi, v)\)

  • Si \(v\) est plus fine que \(u\), Elle est obtenue en rajoutant un nombre fini d’éléments à la subdivision \(u\). Pour démontrer que \(I(\varphi, u)=I(\varphi, v)\), il suffit de le démontrer dans le cas où \(v\) a un élément de plus que \(u\).

Soit donc \(u=(x_i)_{i=0}^n\) et \(v=(x_1, \ldots, x_p, y, x_{p+1}, \ldots, x_n)\)

Il est claire que la fonction \(\varphi\) sur \(]x_p, y[\) et \(]y, x_{p+1}[\). Donc :

\[\begin{split} \begin{aligned} I(\varphi, v) & = \sum_{i=1}^{p-1}c_i(x_i-x_{i-1})+c_p(y-x_p) + c_p(x_{p+1}-y) + \sum_{i=p+2}^{n}c_i(x_i-x_{i-1}) \\ \\ & = \sum_{i=1}^{n}c_i(x_i-x_{i-1}) = I(\varphi, u) \end{aligned} \end{split}\]

  • Dans le cas général:

D’après la proposition 1, il existe une subdivision \(w\) plus fine que \(u\) et \(v\), cette subdivision est aussi adaptée à \(\varphi\) (remarque 2). Donc on aura d’une part \(I(\varphi, w)=I(\varphi, u)\) et d’autre part \(I(\varphi, w)=I(\varphi, v)\).

Par conséquent,

\[ I(\varphi, v)=I(\varphi, u) \]

Propriétés de l’intégrale des fonctions en escalier#

Proposition 4

Montrer que :

1- pour toutes fonctions en escalier sur \([a, b]\) \(\varphi\) et \(\psi\), et pour tous réels \(\alpha\) et \(\beta\) nous avons:

\[ \int_{[a, b]}\alpha\varphi + \beta\psi = \alpha\int_{[a, b]}\varphi + \beta\int_{[a, b]}\psi \]

2- une fonction en escalier positive a une intégrale positive.

3- si \(\varphi\) et \(\psi\) sont deux fonctions en escalier sur \([a, b]\) alors:

\[ \varphi \leq \psi \Rightarrow \int_{[a, b]}\varphi \leq \int_{[a, b]}\psi \]

Démonstration

1-

Soient \(\varphi\) et \(\psi\) deux fonctions en escalier sur \([a, b]\) et \(\alpha\) et \(\beta\) deux réels.

Soit \(u=(x_i)_{i=0}^n\) une subdivision adaptée à \(\varphi\) et \(\psi\). Si, pour \(i \in \{1, \ldots, n\}\), \(c_i\) et \(d_i\) sont respectivement les valeurs prises par \(\varphi\) et \(\psi\) sur \(]x_{i-1}, x_i[\) alors \(\alpha\varphi + \beta\psi\) est une fonction en escalier qui prend \(\alpha c_i + \beta d_i\) sur \(]x_{i-1}, x_i[\).

Nous avons donc,

\[\begin{split} \begin{aligned} \int_{[a, b]}\alpha\varphi + \beta\psi & = \sum_{i=1}^{n}(\alpha c_i + \beta d_i)(x_i-x_{i-1}) \\ \\ & = \alpha\sum_{i=1}^{n} c_i(x_i-x_{i-1}) + \alpha\sum_{i=1}^{n} d_i(x_i-x_{i-1}) \\ \\ & = \alpha\int_{[a, b]}\varphi + \beta\int_{[a, b]}\psi \end{aligned} \end{split}\]

2-

Soit \(\varphi\) une fonction en escalier sur \([a, b]\) qui est positive et \(u=(x_i)_{i=0}^n\) une subdivision adaptée à \(\varphi\). Puisqu’elle est positive, les valeurs \(c_i\) prise par \(\varphi\) sont positives. D’autre part, puisque pour tout \(i \in \{1, \ldots, n\}, x_{i-1} \leq x_i\) (par définition de la subdivision) alors \(\int_{[a, b]}\varphi = \sum_{i=1}^{n} c_i(x_i-x_{i-1}) \geq 0\).

3-

La fonction \(\varphi - \psi\) est une fonction en escalier positive donc son intégral est positive.

Proposition 5

Une fonction \(\varphi\) est en escalier sur \([a, b]\) si et seulement si pour tout \(c \in ]a, b[\), ses restrictions sur \(]a, c[\) et \(]c, b[\) le sont. Le cas échéant,

\[ \int_{[a, b]}\varphi = \int_{[a, c]}\varphi_{|[a, c]} + \int_{[c, b]}\varphi_{|[c, b]} \]

Démonstration

  • \(\Rightarrow\) Soit \(\varphi\) une fonction en escalier sur \([a, b]\) et \(u\) une subdivision adaptée à \(\varphi\). On ajoutant \(c\) a la subdivision \(u\) on obtient un subdivision \(v=(x_i)_{i=0}^n\) qui est encore adaptée à \(\varphi\). Soit \(p\) l’entier naturel tel que \(c=x_p\). Alors nous avons :

    • \((x_1, \ldots, x_p)\) une subdivision de \([a, c]\) et puisque \(\varphi\) est constante sur chaque \(]x_{i-1}, x_{i}[\) donc \(\varphi_{|[a, c]}\) est fonction en escalier sur \([a, c]\). Nous avons donc :

    \[ \int_{[a, c]}\varphi_{|[a, c]} = \sum_{i=1}^{p} c_i(x_i-x_{i-1}) \]

    • \((x_{p+1}, \ldots, x_n)\) une subdivision de \([c, b]\) et puisque \(\varphi\) est constante sur chaque \(]x_{i-1}, x_{i}[\) donc \(\varphi_{|[c, b]}\) est fonction en escalier sur \([c, b]\). Nous avons donc :

    \[ \int_{[c, b]}\varphi_{|[c, b]} = \sum_{i=p+1}^{n} c_i(x_i-x_{i-1}) \]

    Par suite :

    \[\begin{split} \begin{aligned} \int_{[a, b]}\varphi &= \sum_{i=1}^{n} c_i(x_i-x_{i-1})=\sum_{i=1}^{p} c_i(x_i-x_{i-1}) + \sum_{i=p+1}^{n} c_i(x_i-x_{i-1}) \\ \\ &= \int_{[a, c]}\varphi_{|[a, c]} + \int_{[c, b]}\varphi_{|[c, b]} \end{aligned} \end{split}\]

  • \(\Leftarrow\) Supposons que \(\varphi_{|[a, c]}\) et \(\varphi_{|[c, b]}\) sont en escalier sur \([a, c]\) et \([c, b]\) respectivement.

Soit \(u=(x_i)_{i=0}^p\) (respectivement \(v= (x_i)_{i=0}^q\)) une subdivision de \([a, c]\) (respectivement de \([c, b]\)) adaptée à \(\varphi_{|[a, c]}\) (respectivement q \(\varphi_{|[c, b]}\)).

Alors, \((x_0, \ldots, x_{p-1}, x_p=c=y_1, \ldots, y_q)\) est une subdivision \([a, b]\). De plus \(\varphi\) est constante sur chaque intervalle \(]x_{i-1}, x_{i}[\) et \(]y_{i-1}, y_{i}[\). Donc \(\varphi\) est en escalier sur \([a, b]\).