Exercices#

Exercice 1#

Montrer que toute suite convergente est bornée.

Exercice 2#

Montrer qu’une suite d’entiers qui converge est constante à partir d’un certain rang.

Exercice 3#

Les suites suivantes sont-elles croissantes? décroissantes?

\[ u_n = n^2 + 5n +4 \]
\[ v_n =\dfrac{-2n+3}{n+1} \]
\[ w_n = \sqrt{2n+5} \]
\[ a_n = \dfrac{2^n}{n} \]

Exercice 4#

Montrer que la suite \((u_n)_{n\in\mathbb{N}}\) définie par

\[ u_n = (-1)^n + \dfrac{1}{n} \]

n’est pas convergente.

Exercice 5#

Étudier la nature des suites suivantes, et déterminer leur limite éventuelle :

  1. la suite

    \[ \dfrac{sin(n) + 3cos(n^2)}{\sqrt{n}} \]

  2. la suite

    \[ \dfrac{2n + (-1)^n}{5n + (-1)^{n+1}} \]

  3. la suite

    \[ \dfrac{n^3 + 5n}{4n^2 + sin(n) + ln(n)} \]

Exercice 6#

Étudier la nature des suites suivantes, et déterminer leur limite éventuelle :

  1. la suite

    \[ 3^n e^{-3n} \]

  2. la suite

    \[ \sqrt{2n+1} - \sqrt{2n-1} \]

  3. la suite

    \[ \dfrac{ln(n+e^n)}{n} \]

  4. la suite

    \[ \dfrac{ln(1+\sqrt{n})}{1+n^2} \]

Exercice 7#

  1. Déterminer deux réels \(a\) et \(b\) tels que:

    \[ \dfrac{1}{k^2 - 1} = \dfrac{a}{k+1}+\dfrac{b}{k-1} \]

  2. En déduire la limite de la suite:

    \[ \sum_{k=2}^{n}\dfrac{1}{k^2 - 1} \]

Exercice 8#

Montrer que, pour tout \(n\in \mathbb{N}^∗\), on a:

\[ \sqrt{n+1}-\sqrt{n} \leq \dfrac{1}{2\sqrt{n}} \]

En déduire le comportement de la suite \((u_n)\) définie par:

\[ u_n = 1 + \dfrac{1}{\sqrt{2}}+ \ldots + \dfrac{1}{\sqrt{n}} \]

Exercice 9#

Soit \((u_n)_{n\geq 1}\) la suite définie par:

\[ u_n = \sum_{k=1}^{n} \dfrac{1}{k^2} \]

  • Démontrer que la suite \((u_n)\) est croissante.

  • Démontrer que, pour tout \(n \geq 1\)

    \[ \dfrac{1}{(n+1)^2} \leq \dfrac{1}{n} - \dfrac{1}{n+1} \]

  • Démontrer que, pour tout \(n \geq 1\), \(u_n \leq 2−\dfrac{1}{n}\).

  • En déduire que la suite \((u_n)\) est convergente.