Propriétés de \(\mathbb{R}\)#
Addition et multiplication#
Ce sont les propriétés dont on a habitué. Pour \(a,\,b,\,c\in\mathbb{R},\) on a:
\(a+b=b+a\)
\(a\times b=b\times a\)
\(a+0=a\)
\( a\times 1=a \mbox{ si } a\neq0\)
\(a+b=0\Leftrightarrow a=-b\)
\(ab=1\Leftrightarrow a=\frac{1}{b}\)
\((a+b)+c=a+(b+c)\)
\((a\times b)\times c=a\times(b\times c)\)
\(a\times(b+c)=a\times b+a\times c\)
\(a\times b=0\Leftrightarrow(a=0 \mbox{ ou } b=0)\)
On résume toutes ces propriétés en disant que :
Proposition
\((\mathbb{R},+,\times)\) est un corps commutatif.
Ordre sur \(\mathbb{R}\)#
Nous allons voir que les réels sont ordonnés. La notion d’ordre est générale et nous allons définir cette notion sur un ensemble quelconque. Cependant gardez à l’esprit que pour nous \(E=\mathbb{R}\) et \(\mathcal{R}=\leq\)
Définition
Soit \(E\) un ensemble.
Une relation \(\mathcal{R}\) sur \(E\) est un sous-ensemble de l’ensemble produit \(E\times E.\) Pour \((x,y)\in E\times E,\) on dit que \(x\) est en relation avec \(y\) et on note \(x\mathcal{R}y\) pour dire que \((x,y)\in R.\)
Une relation \(\mathcal{R}\) est une relation d’ordre si
\(\mathcal{R}\) est réflexive: Pour tout \(x\in E,\) \(x\mathcal{R}x\)
\(\mathcal{R}\) est antisymétrique: pour tout \(x,y\in E,\) \((x\mathcal{R}y\:\mbox{et} y\mathcal{R}x) \Rightarrow x=y.\)
\(\mathcal{R}\) est transitive: pour tout \(x,y,z\in E,\) \((x\mathcal{R}y\:\mbox{et} y\mathcal{R}z)\Rightarrow x\mathcal{R}z\)
Définition
Une relation d’ordre \(\mathcal{R}\) sur un ensemble \(E\) est totale si pour tout \(x, y\in E\) on a \(x\mathcal{R}y\) ou \(y\mathcal{R}x.\) On dit aussi que \((E,\mathcal{R})\) est un ensemble totalement ordonné.
Proposition
La relation \(\leq\) sur \(\mathbb{R}\) est une relation d’ordre, et de plus, elle est totale.
Nous avons donc:
pour tout \(x\in \mathbb{R}, x\leq x,\)
pour tout \(x, y \in \mathbb{R},\) si \(x\leq y\) et \(y\leq x\) alors \(x=y,\)
pour tout \(x, y, z\in\mathbb{R}\) si \(x \leq y\) et \(y \leq z\) alors \(x \leq z.\)
Remarque
Pour \((x, y)\in \mathbb{R}^{2}\) on a par définition:
\(x\leq y \Leftrightarrow y-x\in \mathbb{R}_{+}\)
\(x<y\Leftrightarrow x\leq y\quad\mbox{et}\quad x\neq y\)
Les opérations de \(\mathbb{R}\) sont compatibles avec la relation d’ordre \(\leq\) au sens suivant, pour des réels \(a, b,c, d:\)
\(a\leq b \quad\mbox{et}\quad c\leq d)\Rightarrow a+c\leq b+d\)
\(a\leq b \quad\mbox{et}\quad c\geq0)\Rightarrow a\times c\leq b\times c\)
Définition
On définit le maximum de deux réels \(a\) et \(b\) par:
Propriété d’Archimède#
Proposition (Propriété d’Archimède)
\(\mathbb{R}\) est archimédien, c’est-à-dire:
Autrementdit, Pour tout réel \(x,\) il existe un entier naturel \(n\) strictement plus grand que \(x.\)
Cette propriété peut sembler évidente, elle est pourtant essentielle puisque elle permet de définir la partie entière d’un nombre réel:
Proposition (partie entière)
Soit \(x\in R,\) il existe un unique entier relatif, la partie entière notée \(E(x),\) tel que:
Exemple
\(E(2, 853) = 2, E(\pi) = 3, E(-3,5) =-4.\)
\(E(x)=3\Leftrightarrow 3\leq x <4\)
Pour la démonstration de la proposition de la partie entière il y a deux choses à établir: d’abord qu’un tel entier \(E(x)\) existe et ensuite qu’il est unique:
Preuve
Existence
Supposons \(x>0\).
Par la propriété d’Archimède il existe \(n\in N\) tel que \(n>x.\)
L’ensemble \(K:=\{k\in \mathbb{N}; k\leq x\}\) est donc fini (car pour tout \(k\) dans \(K,\) on a \(0\leq k \leq n\)).
Il admet donc un plus grand élément \(k_{max} =\max K.\)
On a alors \(k_{max}\leq x\) car \(k_{max} \in K,\) et \(k_{max} + 1 > x\) car \(k_{max} + 1 \notin K.\) Donc \(k_{max}\leq x < k_{max} + 1\) et on prend donc \(E(x)= k_{max}.\)
Unicité:
Si \(k\) et \(l\) sont deux entiers relatifs vérifiant \(k \leq x < k + 1\) et \(l \leq x < l + 1,\) on a donc \(k \leq x < l + 1\).
donc par transitivité \(k < l + 1.\)
En échangeant les rôles de \(l\) et \(k,\) on a aussi \(l< k + 1.\)
On en conclut que \(l-1 < k < l + 1,\) mais il n’y a qu’un seul entier compris strictement entre \(l-1\) et \(l+1,\) c’est \(l.\)
Ainsi \(k = l.\)
Le cas \(x < 0\) est similaire.
Valeur absolue#
Définition
Pour un nombre réel \(x,\) on définit la valeur absolue de \(x\) par:
Proposition
\(|x|\geq0,\quad |x|=|-x|;\quad |x|>0\Leftrightarrow x\neq0\)
\(\sqrt{x^2}=|x|\)
\(|xy|=|x||y|\)
Inégalité triangulaire: \(|x+y|\leq |x|+|y|\)
\(||x|-|y||\leq |x-y|\)
Sur la droite numérique, \(|x-y|\) représente la distance entre les réels \(x\) et \(y\) ; en particulier \(|x|\) représente la distance entre les réels \(x\) et 0. De plus on a \(|x-a|<r\Leftrightarrow a-r<x<a+r.\)
Densité de \(\mathbb{Q}\) dans \(\mathbb{R}\)#
Intervalle#
Définition
Un intervalle de \(\mathbb{R}\) est un sous-ensemble \(I\) de \(\mathbb{R}\) vérifiant la propriété:
Remarque
Par définition;
\(I=\varnothing\) est un intervalle.
\(I=\mathbb{R}\) est aussi un intervalle.
Définition
Un intervalle ouvert est un sous-ensemble de \(\mathbb{R}\) de la forme \(]a,b[= \{x\in \mathbb{R},\,a<x<b\}\), où \(a\) et \(b\) sont des éléments de \(\mathbb{R}.\)
La notion de voisinage sera utile pour les limites.
Définition
Soit \(a\) un réel, \(V\subset R\) un sous-ensemble. On dit que \(V\) est un voisinage de \(a\) s’il existe un intervalle ouvert \(I\) tel que \(a \in I\) et \(I \subset V.\)
Densité#
Théorème
\(\mathbb{Q}\) est dense dans \(\mathbb{R}\): tout intervalle ouvert (non vide) de \(\mathbb{R}\) contient une infinité de rationnels.
\(\mathbb{R}\setminus \mathbb{Q}\) est dense dans \(\mathbb{R}\) : tout intervalle ouvert (non vide) de \(\mathbb{R}\) contient une infinité d’irrationnels.
Borne supérieure#
Maximum, minimum#
Définition
Soit \(A\) une partie non vide de \(\mathbb{R}.\) Un réel \(\alpha\) est un plus grand élément de \(A\) si : \(\alpha\in A\) et \(\forall x\in A,\,x\leqslant \alpha.\) S’il existe, le plus grand élément est unique, on le note alors \(\max A.\) Le plus petit élément de \(A,\) noté \(\min A,\) s’il existe est le réel \(\alpha\) tel que \(\alpha\in A\) et \(\forall x\in A, \,x\geqslant \alpha.\)
Le plus grand élément s’appelle aussi le maximum et le plus petit élément, le minimum. Il faut garder à l’esprit que le plus grand élément ou le plus petit élément n’existent pas toujours.
Exemple
3 est un majorant de \(]0, 2[ ;\)
−7,\(\pi,\) 0 sont des minorants de \(]0,+\infty[\) mais il n’y a pas de majorant.
Si un majorant (resp. un minorant) de \(A\) existe on dit que \(A\) est majorée (resp. minorée). Comme pour le minimum et le maximum il n’existe pas toujours de majorant ni de minorant, en plus on n’a pas l’unicité.
Soit \(A =[0,1[\)
les majorants de \(A\) sont exactement les éléments de \([1,+\infty[,\)
les minorants de \(A\) sont exactement les éléments de \(]−\infty,0].\)
Borne supérieure, borne inférieure#
Définition
Soit \(A\) une partie non vide de \(\mathbb{R}\) et \(\alpha\) un réel.
\(\alpha\) est la borne supérieure de \(A\) si \(\alpha\) est un majorant de \(A\) et si c’est le plus petit des majorants. S’il existe on le note \(\sup A.\)
\(\alpha\) est la borne inférieure de \(A\) si \(\alpha\) est un minorant de \(A\) et si c’est le plus grand des minorants. S’il existe on le note \(\inf A.\)
Exemple
Soit \(A =]0,1].\)
\(\sup A = 1\) : en effet les majorants de \(A\) sont les éléments de \([1,+\infty[.\) Donc le plus petit des majorants est 1.
\(\inf A = 0:\) les minorants sont les éléments de \(] −\infty,0]\) donc le plus grand des minorants est 0.
\(\sup[a, b] = b,\)
\(\inf[a, b]=a,\)
\(\sup]a, b[= b,\)
\(]0,+\infty[\) n’admet pas de borne supérieure,
\(\inf]0,+\infty[= 0.\)
Théorème
Toute partie de \(\mathbb{R}\) non vide et majorée admet une borne supérieure.
De la même façon : Toute partie de \(\mathbb{R}\) non vide et minorée admet une borne inférieure.
Proposition (Caractérisation de la borne supérieure)
Soit \(A\) une partie non vide et majorée de \(\mathbb{R}.\) La borne supérieure de \(A\) est l’unique réel \(\sup A\) tel que
si \(x\in A,\) alors \(x \leqslant\sup A,\)
pour tout \(y < \sup A,\) il existe \(x\in A\) tel que \(y < x.\)