Exercices#
Exercice 1#
Quels sont les équivalents corrects parmi les propositions suivantes?
\[\begin{split}\begin{array}{lllll}
\mathbf 1.\ n\sim_{+\infty}n+1&\quad&\mathbf 2.\ n^2\sim_{+\infty}n^2+n&\quad&\mathbf 3.\ \ln(n)\sim_{+\infty}\ln(10^6 n)\\
\mathbf 4.\ \exp(n)\sim_{+\infty}\exp\left(n+10^{-6}\right)&\quad&\mathbf 5.\ \exp(n)\sim_{+\infty}\exp(2n)&\quad&\mathbf 6.\ \ln(n)\sim_{+\infty}\ln(n+1).
\end{array}
\end{split}\]
Exercice 2#
Trouver un équivalent le plus simple possible aux suites suivantes :
\[\begin{split}
\begin{array}{lll}
\mathbf 1.\ u_n=\frac{1}{n-1}-\frac{1}{n+1}&\quad&\mathbf 2.\ v_n=\sqrt{n+1}-\sqrt{n-1}\\
\mathbf 3.\ w_n=\frac{n^3-\sqrt{1+n^2}}{\ln n-2n^2}&\quad&\mathbf 4.\ z_n=\sin\left(\frac1{\sqrt{n+1}}\right).
\end{array}
\end{split}\]
Exercice 3#
Déterminer un équivalent le plus simple possible des fonctions suivantes :
\[\begin{split}
\begin{array}{lcl}
\mathbf 1.\ x+1+\ln x\textrm{ en 0 et en }+\infty&\quad\quad&\displaystyle \mathbf 2.\ \cos(\sin x)\textrm{ en 0}\\
\displaystyle \mathbf 3.\ \cosh(\sqrt x)\textrm{ en }+\infty
&\quad\quad&\displaystyle \mathbf 4.\ \frac{\sin x\ln(1+x^2)}{x\tan x}\textrm{ en 0}\\
\displaystyle \mathbf 5.\ \ln(\sin x)\textrm{ en }0
&\quad\quad&\displaystyle \mathbf 6.\ \ln(\cos x)\textrm{ en 0}
\end{array}\end{split}\]
Exercice 4#
Classer les suites suivantes par ordre de “négligeabilité” :
\[\begin{split}
\begin{array}{llll}
a_n=\frac 1n&b_n=\frac1{n^2}&c_n=\frac{\ln n}n&d_n=\frac{e^n}{n^3}\\
e_n=n&f_n=1&g_n=\sqrt{ne^n}.
\end{array}\end{split}\]
Exercice 5#
Classer les fonctions suivantes par ordre de négligeabilité en \(+\infty\)
\[
f_1(x)=x,\ f_2(x)=\exp(x),\ f_3(x)=\frac 1x,\ f_4(x)=2,\ f_5(x)=\ln(x),\ f_6(x)=\sqrt x\ln x,\ f_7(x)=\frac{e^x}{\sqrt x}.
\]
Exercice 6#
Démontrer que
\[ \ln(1+x)+x^2\sim_0 x\textrm{ et }x^2+x^3\sim_0 x^2. \]En déduire \(\displaystyle \lim_{x\to 0^+}\frac{\ln(1+x)+x^2}{x^2+x^3}\)
Démontrer que
\[ \sin(2x)\sim_0 2x\textrm{ et }\tan(3x)\sim_0 3x. \]En déduire \(\displaystyle \lim_{x\to 0^+}\frac{\sin(2x)}{\tan(3x)}\)
Exercice 7#
En utilisant (éventuellement) des équivalents, déterminer les limites suivantes :
\[\begin{split}
\begin{array}{lcl}
\displaystyle \mathbf 1.\ \lim_{x\to 0}\frac{(1-\cos x)(1+2x)}{x^2-x^4}&&\displaystyle \mathbf 2.\ \lim_{x\to 0}x(3+x)\frac{\sqrt{x+3}}{\sqrt x\sin(\sqrt x)}\\
\displaystyle \mathbf 3.\ \lim_{x\to 0}\frac{\ln (1+\sin x)}{\tan(6x)}&&
\displaystyle \mathbf 4.\ \lim_{x\to\pi/2}\frac{\ln(\sin^2 x)}{\left(\frac{\pi}{2}-x\right)^2}\\
\displaystyle \mathbf 5.\ \lim_{x\to 0}\frac{\ln(\cos x)}{1-\cos 2x}&&\displaystyle \mathbf 6.\ \lim_{x\to+\infty}\sqrt{4x+1}\ln\left(1-\frac{\sqrt{x+1}}{x+2}\right)\\
\displaystyle \mathbf 7.\ \lim_{x\to+\infty}\exp\left(\frac1{x^2}\right)-
\exp\left(\frac{1}{(x+1)^2}\right)
&&\displaystyle \mathbf 8.\ \lim_{x\to 0}\left(\frac{x}{\sin x}\right)^{\frac{\sin x}{x-\sin x}}\\\displaystyle \mathbf 9.\ \lim_{x\to 0}\frac{(1-\cos x)\arctan x}{x\tan x}
\end{array}\end{split}\]
Exercice 8#
Comparer les fonctions suivantes :
\(x\ln x\) et \(\ln(1+2x)\) au voisinage de \(0\).
\(x\ln x\) et \(\sqrt{x^2+3x}\ln(x^2)\sin x\) au voisinage de \(+\infty\).
Étudier si les fonctions suivantes sont dérivables et \(C^1\) sur \(\mathbb{R}\):
\[\begin{split}
f(x)=\left\{\begin{array}{ll}
x^2\sin\left(\frac 1x\right)&x\neq 0\\
0&x=0
\end{array}\right.\quad\quad\quad
g(x)=\left\{\begin{array}{ll}
x^3\sin\left(\frac 1x\right)&x\neq 0\\
0&x=0.
\end{array}\right.
\end{split}\]
Exercice 9#
Calculer les développements limités suivants :
\[\begin{split}
\begin{array}{lcl}
\displaystyle \mathbf 1.\ \frac{1}{1-x}-e^x\textrm{ à l'ordre 3 en 0}&&\displaystyle \mathbf 2.\ \sqrt{1-x}+\sqrt{1+x}\textrm{ à l'ordre 4 en 0}\\
\displaystyle \mathbf 3.\ \sin x\cos(2x)\textrm{ à l'ordre 6 en 0}&&\displaystyle \mathbf 4.\ \cos(x)\ln(1+x)\textrm{ à l'ordre 4 en 0}\\
\displaystyle \mathbf 5.\ (x^3+1)\sqrt{1-x}\textrm{ à l'ordre 3 en 0}&&\displaystyle \mathbf 6.\ \big(\ln(1+x)\big)^2\textrm{ à l'ordre 4 en 0}
\end{array}
\end{split}\]
Exercice 10#
Déterminer les développements limités des fonctions suivantes :
\[\begin{split}
\begin{array}{lcl}
\displaystyle \mathbf 1.\ \frac{1}{1+x+x^2}\textrm{ à l'ordre 4 en 0}&&\displaystyle \mathbf 2.\ \tan(x)\textrm{ à l'ordre 5 en 0}\\
\displaystyle \mathbf 3.\ \frac{\sin x-1}{\cos x+1}\textrm{ à l'ordre 2 en 0}&&\displaystyle \mathbf 4.\ \frac{\ln(1+x)}{\sin x}\textrm{ à l'ordre 3 en 0}.
\end{array}
\end{split}\]
Exercice 11#
\[\begin{split}
\begin{array}{lcl}
\displaystyle \mathbf 1.\ \ln\left(\frac{\sin x}{x}\right)\textrm{ à l'ordre 4 en 0}&&
\displaystyle \mathbf 2.\ \exp(\sin x)\textrm{ à l'ordre 4 en 0}\\
\displaystyle \mathbf 3.\ (\cos x)^{\sin x}\textrm{ à l'ordre 5 en 0}&&
\displaystyle \mathbf 4.\ x\big(\cosh x\big)^{\frac 1x}\textrm{ à l'ordre 4 en 0}.
\end{array}
\end{split}\]