Les nombres rationnels#
L’écriture décimale#
Par définition, l’ensemble des nombres rationnels est
Par exemple : \(\frac{2}{5},\,\frac{-7}{71},\frac{3}{6}=\frac{1}{2},\,etc...\)
Les nombres décimaux, c’est-à-dire les nombres de la forme \(\frac{a}{10^{n}},\) avec \(a\in \mathbb{Z}\), \(n\in \mathbb{N}\) fournissent d’autres exemples:
Définition
Un nombre est rationnel si et seulement s’il admet une écriture décimale périodique ou finie.
Exemple
le nombre \(\frac{3}{5}\) est rationnel car:
Nous n’allons pas donner la démonstration mais le sens direct ( \(\Rightarrow\) ) repose sur la division euclidienne. Pour la réciproque (\(\Leftarrow\)) voyons comment cela marche sur un exemple : Montrons que \(x = 12,34 2021 2021\ldots\) est un rationnel.
L’idée est d’abord de faire apparaître la partie périodique juste après la virgule. Ici la période commence deux chiffres après la virgule, donc on multiplie par 100 :
Maintenant on va décaler tout vers la gauche de la longueur d’une période, donc ici on multiplie encore par 10 000 pour décaler de 4 chiffres :
Maintenant on va décaler tout vers la gauche de la longueur d’une période, donc ici on multiplie encore par 10 000 pour décaler de 4 chiffres :
Les parties après la virgule des deux lignes (1) et (2) sont les mêmes, donc si on les soustrait en faisant (2) - (1) alors les parties décimales s’annulent :
Donc \(999 900x = 12 340 787\) donc \(x=\frac{12 340 787}{999 900},\) \(x\) est bien un nombre rationnel.
\(\sqrt{2}\) n’est pas un nombre rationnel#
Il existe des nombres qui ne sont pas rationnels, les irrationnels. Les nombres irrationnels apparaissent naturellement dans les figures géométriques : par exemple la diagonale d’un carré de côté 1 est le nombre irrationnel \(\sqrt{2}\) ; la circonférence d’un cercle de rayon \(\frac{1}{2}\) est \(\pi\) qui est également un nombre irrationnel. Enfin \(e = exp(1)\) est aussi.
Nous allons prouver que \(\sqrt{2}\) n’est pas un nombre rationnel.
Proposition
\(\sqrt{2}\) est un nombre irrationnel.
Par l’absurde supposons que \(\sqrt{2}\) soit un nombre rationnel. Alors il existe des entiers \(p\in\mathbb{Z}\) et \(q\in \mathbb{N}^{*}\) tels que \(\sqrt{2}=\frac{p}{q}\) de plus, ce sera important pour la suite– on suppose que \(p\) et \(q\) sont premiers entre eux (c’est-à-dire que la fraction \(\frac{p}{q}\) est sous une écriture irréductible).
En élevant au carré, l’égalité \(\sqrt{2}=\frac{p}{q}\) devient \(2q^2=p^2\). Cette dernière égalité est une égalité d’entiers. L’entier de gauche est pair, donc on en déduit que \(p^2\) est pair ; en termes de divisibilité 2 divise \(p^2\). Mais si 2 divise \(p^2\)
Alors 2 divise \(p\) (cela se prouve par facilement l’absurde). Donc il existe un entier \(p'\in \mathbb{Z}\) tel que \(p=2p'\)
Démonstration
Repartons de l’égalité \(2q^2=p^2\) et remplaçons \(p\) par \(2p'.\) Cela donne \(2q^2=4p'^{2}\). Donc \(q^2=2p'^{2}.\) Maintenant cela entraîne que 2 divise \(q^2\) et comme avant alors 2 divise \(q.\) Nous avons prouvé que 2 divise à la fois \(p\) et \(q.\) Cela rentre en contradiction avec le fait que \(p\) et \(q\) sont premiers entre eux. Notre hypothèse de départ est donc fausse : \(\sqrt{2}\) n’est pas un nombre rationnel.
Comme ce résultat est important en voici une deuxième démonstration, assez différente, mais toujours par l’absurde. Autre démonstration. Par l’absurde, supposons \(\sqrt{2}=\frac{p}{q},\) donc \(q\sqrt{2}=p\in \mathbb{N}.\) Considérons l’ensemble
Cet ensemble n’est pas vide car on vient de voir que \(q\sqrt{2}=p\in \mathbb{N}\) donc \(q\in \mathcal{N}.\) Ainsi \(\mathcal{N}\) est une partie non vide de \(\mathbb{N},\) elle admet donc un plus petit élément \(n_0 :=\min \mathcal{N}.\)
Posons
Il découle de cette dernière égalité et de \(1 <\sqrt{2} < 2\) que \(0 < n_1 < n_0.\)
De plus \(n_1 \sqrt{2}= (n_0 \sqrt{2}-n_0 )\sqrt{2}= 2n_0-n_0 \sqrt{2}\in \mathbb{N}.\) Donc \(n_1\in \mathcal{N}\) et \(n_1 < n_0\) : on vient de trouver un élément \(n_1\) de \(\mathcal{N}\) strictement plus petit que \(n_0\) qui était le minimum. C’est une contradiction. Notre hypothèse de départ est fausse, donc \(\sqrt{2}\) est un nombre irrationnel.