Méthodes de calcul des primitives

Intégration par parties

Proposition

Si \(u\) et \(v\) sont deux fonctions de classe \(\mathcal C^1\) sur le segment \([a, b]\), on a:

\[ \int_a^b u(t)v^{'}(t)dt = u(b)v(b)- u(a)v(a) - \int_a^b u^{'}(t)v(t)dt \]

Démonstration

Si \(u\) et \(v\) sont deux fonctions de classe \(\mathcal C^1\), alors \(uv\) est aussi de classe \(\mathcal C^1\).

Donc

\[ u(b)v(b)- u(a)v(a) = \int_a^b (uv)^{'}(t)dt = \int_a^b u(t)v^{'}(t)dt + \int_a^b u^{'}(t)v(t)dt \]

Remarque: Dans un calcul de primitive, la formule d’intégration par parties s’écrit:

\[ \int u(x)v^{'}(x)dx = u(x)v(x) - \int v(x)u^{'}(x)dx \]

La formule d’intégration par parties est en général utilisée pour:

• éliminer une fonction transcendantes dont la dérivée est plus simple comme par exemple les fonctions \(\ln, \arcsin, \arctan,\ldots\)

• calculer une intégrale par récurrence.

Exemples

1- sur \(\mathbb R_+^*\) on a :

\[ \int \ln x dx = \int (x)^{'}\ln x dx = x\ln x - \int x\dfrac{1}{x} = x\ln x = x + Cst \]

2- Sur \(\mathbb R\) on a:

\[ \int \arctan x dx = x \arctan x - \int \dfrac{x}{1+x^2} dx = x \arctan x - \dfrac{1}{2}\ln (1+x^2) + Cst \]

3 - Pour calculer \(\int x^2 e^x dx\), on peut intégrer l’exponentielle et dériver le polynôme:

\[ \int x^2 e^x dx = x^2e^x - 2\int xe^x dx \]

puis recommencer:

\[ \int xe^x dx = xe^x - \int e^x dx \]

ce qui donne:

\[ \int x^2 e^x dx = x^2e^x - 2(xe^x - \int e^x dx) = x^2e^x - 2xe^x + 2e^x + Cst \]

Changement de variable

Proposition

Soient \(I\) et \(J\) deux intervalle de \(\mathbb R\), ainsi que \(f\) une fonction continue de \(I\) dans \(\mathbb R\) et \(\varphi\) une fonction de classe \(\mathcal C^1\) de \(J\) dans \(I\). Si \(\alpha\) et \(\beta\) sont deux éléments de \(J\), on a :

\[ \int_{\varphi(\alpha)}^{\varphi(\beta)} f(t)dt = \int_\alpha^\beta f(\varphi(u)) \varphi^{'}(u)du \]

Démonstration

Comme \(f\) est continue sur \(I\), elle possède une primitive \(F\) et l’on a:

\[ \int_{\varphi(\alpha)}^{\varphi(\beta)} f(t)dt = F(\varphi(\beta)) - F(\varphi(\alpha)) = F \circ\varphi(\beta) - F \circ\varphi(\alpha) \]

D’autre part, puisque les deux fonctions \(F\) et \(varphi\) sont de classe \(\mathcal C^1\) donc \(F \circ\varphi\) est aussi de classe \(\mathcal C^1\)

Donc on peut écrire : \( F \circ\varphi(\beta) - F \circ\varphi(\alpha) = F(\varphi(\beta)) - F(\varphi(\alpha)) = \int_\alpha^\beta (F \circ\varphi)^{'}(u) du\).

Par suite :

\[\begin{split} \begin{aligned} F(\varphi(\beta)) - F(\varphi(\alpha)) &= \int_\alpha^\beta (F \circ\varphi)^{'}(u) du \\ \\ & = \int_\alpha^\beta F^{'}(\varphi(u)) \varphi^{'}(u) du \\ \\ & = \int_\alpha^\beta f(\varphi(u)) \varphi^{'}(u)du \end{aligned} \end{split}\]

Remarques:

• la formule de changement de variable n’est que la formule de dérivation d’une fonction composée lue à l’envers.

• Quand on utilise la formule de changement de variable avec les notations vues dans la proposition, on dit que l’on effectue le changement de variable \(t=\varphi(u)\) (d’où l’appellation changement de variable). On remplace alors \(t\) par \(\varphi(u)\) et \(dt\) par la différentielle \(\varphi^{'}(u)du\), ce qui rend le calcul assez naturel.

• il faut faire attention lors de l’application de cette méthode, les bornes de l’intégral doivent être changées.

Exemples

1- Pour calculer l’intégrale :

\[ \int_0^{\frac{\pi}{2}} \sin^2 u \cos u du \]

On pose \(t = \sin u\), donc

\[ \int_0^{\frac{\pi}{2}} sin^2 u \cos u du = \int_0^{1} t^2 dt = \dfrac{1}{3} \]

2- Pour calculer l’intégrale

\[ \int_{-1}^2 \sqrt{4-u^2} u du \]

On pose \(t = u^2\), donc :

\[ \int_{-1}^2 \sqrt{4-u^2} u du = \dfrac{1}{2}\int_1^4 \sqrt{4-t}dt = [-\dfrac{1}{3}(4-t^2)^{\frac{3}{2}}]_1^4 = \sqrt{3} \]