Fonctions circulaires inverses#

Arccosinus#

Considérons la fonction cosinus \(\cos : \mathbb{R}\rightarrow[−1,1], x \mapsto\cos x.\) Pour obtenir une bijection à partir de cette fonction, il faut considérer la restriction de cosinus à l’intervalle \([0,\pi].\) Sur cet intervalle la fonction cosinus est continue et strictement décroissante, donc la restriction

\[ \cos:[0,\pi]\rightarrow[-1,1] \]

est une bijection. Sa bijection réciproque est la fonction arccosinus:

\[ \arccos :[-1,1]\rightarrow[0,\pi] \]
_images/sinconsinv.png

Fig. 1 fonctions sin cos et leurs inverse#

On a donc, par définition de la bijection réciproque:

\[ \cos(\arccos(x)=x \quad\forall x \in [−1,1] \]
\[ \arccos(\cos(x)=x \quad x \in [0,\pi] \]

Autrement dit:

\[ \mbox{Si}\quad x \in[0,\pi] \cos(x) =y \Leftrightarrow x = \arccos y \]

Notons finalement que la fonction arccosinus est dérivable sur l’intervalle \(]-1,1[\) et

\[ \forall x\in ]-1,1[,\quad \arccos'(x)=\frac{-1}{\sqrt{1-x^2}} \]

Démonstration:

On a l’égalité \(\cos(\arccos x) = x\) que l’on dérive :

\[\begin{eqnarray*} \cos(\arccos x)=x &\Rightarrow& −\arccos'(x)\times\sin(\arccos x) = 1\\ &\Rightarrow& \arccos'(x)=-\frac{1}{\sin(\arccos x)}\\ &\Rightarrow& \arccos'(x)=-\frac{1}{\sqrt{1-\cos^2(\arccos x)}}\\ &\Rightarrow& \arccos'(x)=-\frac{1}{\sqrt{1-x^2}} \end{eqnarray*}\]

Arcsinus#

La restriction

\[ \sin:[-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}]\rightarrow [-1,1] \]

est une bijection. Sa bijection réciproque est la fonction arcsinus définie par

\[ \sin(\arcsin(x))=x,\;\forall x\in [-1,1] \]
\[ \arcsin(\sin(x))=x,\;\forall x\in[-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}] \]

On a alors: \(\forall x\in[-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}] , \sin (x)=y\Leftrightarrow x=\arcsin(y).\)

La fonction arcsinus est dérivable sur l’intervalle \(]-1,1[\) et

\[ \forall x\in ]-1,1[,\quad \arcsin'(x)=\frac{1}{\sqrt{1-x^2}} \]

Arctangente#

La restriction \(\tan:]-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}[\rightarrow\mathbb{R}\) est une bijection. Sa bijection réciproque est la fonction arctangente:

\[ \arctan:\mathbb{R}\rightarrow]-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}[ \]

Ainsi

\[ \tan(\arctan(x))=x,\forall x\in \mathbb{R} \]
\[ \arctan(\tan(x))=x, \forall x\in]-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}[ \]

Et si \(x\in ]-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}[,\) alors \(\tan(x)=y\Leftrightarrow x=\arctan y.\)

Fonctions hyperboliques et hyperboliques inverses#

Cosinus hyperbolique et son inverse#

Pour \(x\in \mathbb{R},\) le cosinus hyperbolique est :

\[ ch(x)=\frac{e^x+e^{-x}}{2} \]

La restriction \(ch: [0,+\infty[\rightarrow[1,+\infty[\) est une bijection. Sa bijection réciproque est \(argch:[1,+\infty[\rightarrow[0,+\infty[\)

Sinus hyperbolique et son inverse#

Pour \(x\in \mathbb{R},\) le sinus hyperbolique est:

\[ sh(x)=\frac{e^x-e^{-x}}{2} \]

\(sh:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}\) est une fonction continue, dérivable, strictement croissante vérifiant \(\lim\limits_{\substack{x\rightarrow-\infty}}shx=-\infty\) et \(\lim\limits_{\substack{x\rightarrow+\infty}}shx=+\infty,\) c’est donc une bijection. Sa bijection réciproque est \(argsh:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}.\)

Proposition

  • \(ch^2 x - sh^2 x=1.\)

  • \(ch'x = shx, \;sh'x = chx.\)

  • argsh est dérivable et \(argsh'x=\frac{1}{\sqrt{x^2+1}}\)

  • \(argshx = \ln(x+\sqrt{x^2 +1}).\)

_images/sh-ch.png

Fig. 2 fonctions sh, ch, argch et argsh#

Tangente hyperbolique et son inverse#

Par définition la tangente hyperbolique est :

\[ th x=\frac{sh x}{ch x} \]

La fonction \(th :\mathbb{R}\rightarrow]-1,1[\) est une bijection, on note \(argth :]-1,1[\rightarrow\mathbb{R}\) sa bijection réciproque.

_images/th-argth.png

Fig. 3 fonctions th et argth#

Trigonométrie hyperbolique#

\[ ch^2 a-sh^2 a=1 \]
\[ ch(a+b)=ch a. chb+sh a.shb \]
\[ ch(2a)= ch^2 a+sh^2 a=2 ch^2 a-1=1+2sh^2 a \]
\[ sh(a+b)=sh a. chb+sh b. ch a \]
\[ sh(2a)=2sha. cha \]
\[ th(a+b)=\frac{tha+thb}{1+tha.thb} \]

Dérivées de fonctions hyperboliques et leurs inverses

\[ ch'x=shx \]
\[ sh'x=chx \]
\[ th'x=1-th^2 x=\frac{1}{ch^2 x} \]
\[ argch'x=\frac{1}{\sqrt{x^2-1}},\:|x|>1 \]
\[ argsh'x=\frac{1}{\sqrt{x^2+1}} \]
\[ argth'x=\frac{1}{1-x^2},\:|x|<1 \]
\[ argch(x)=\ln(x+\sqrt{x^2-1}),\:|x|\leq 1 \]
\[ arhsh(x)=\ln(x+\sqrt{x^2+1}),\,(x\in\mathbb{R}) \]
\[ argthx=\frac{1}{2}\ln(\frac{1+x}{1-x}),\,(-1<x<1) \]

formules trigonometriques#

Rapel:#

  • les fonctions \(\sin\) et \(\cos\) sont definies sur \(\mathbb{R}\) et a valeurs dans \([-1, 1]\), \(2\pi\)-periodiques.

  • La fonction \(\tan\) est definie sur \(\mathbb{R}\setminus \{\frac{\pi}{2} +k\pi, k\in \mathbb{Z}\) a valeurs dans \(\mathbb{R}\), \(\pi\)-periodiques.

  • \(\cos^2(x) + \sin^2(x) = 1\)

  • \(\tan(x) = \frac{\sin(x)}{\cos(x)}\)

  • \(\sin(-x) = -\sin(x)\)

  • \(\cos(-x) =\cos(x)\)

  • \(\tan(-x) = - \tan(x)\)

  • \( 1 + \tan^2(x) = \frac{1}{\cos^2(x)}\)

  • \(\sin(\pi - x) = \sin(x)\)

  • \(\cos(\pi - x) = - \cos(x)\)

  • \(\tan(\pi - x) = - \tan(x)\)

  • \(\sin(\frac{\pi}{2} - x) = \cos(x)\)

  • \(\cos(\frac{\pi}{2} - x) = \sin(x)\)

  • \(\tan(\frac{\pi}{2} - x) = \frac{1}{\tan(x)}\)

  • \(\sin(2x) = 2\sin(x)\cos(x)\)

  • \(\cos(2x) = \cos^2(x) - \sin^2(x) = 2\cos^2(x) -1 = 1 - 2\sin^2(x)\)

  • \(\tan(2x) = \frac{2\tan(x)}{1-\tan^2(x)}\)

  • \(\sin(x) = \frac{2t}{1+t^2}, \mbox{ avec } t=\tan(\frac{x}{2})\)

  • \(\cos(x) = \frac{1-t^2}{1+t^2} , \mbox{ avec } t=\tan(\frac{x}{2})\)

  • \(\tan(x) = \frac{2t}{1-t^2} , \mbox{ avec } t=\tan(\frac{x}{2})\)

Conditions pour lesquelles cos(x) est égal à une valeur donnée \(y\) :#

  • En général, pour une valeur donnée \(y\), \(cos(x) = y\) si \(x = arccos(y) + 2\pi k\) ou \(x = -arccos(y) + 2\pi k\), pour tout entier \(k\).

  • Remarque spéciale : \(cos(x) = 0\) lorsque \(x = \frac{\pi}{2} + \pi k\), pour tout entier \(k\).

Conditions pour lesquelles sin(x) est égal à une valeur donnée \(y\) :#

  • En général, pour une valeur donnée \(y\), \(sin(x) = y\) si \(x = arcsin(y) + 2\pi k\) ou \(x = \pi - arcsin(y) + 2\pi k\), pour tout entier \(k\).

  • Remarque spéciale : \(sin(x) = 0\) lorsque \(x = \pi k\), pour tout entier \(k\).

Conditions pour lesquelles tan(x) est égal à une valeur donnée \(y\) :#

  • En général, pour une valeur donnée \(y\), \(tan(x) = y\) si \(x = arctan(y) + \pi k\), pour tout entier \(k\).

  • Remarque spéciale : \(tan(x) = 0\) lorsque \(x = \pi k\), pour tout entier \(k\).

table des valeurs#

Voici une table des valeurs remarquables pour les fonctions sinus (\(\sin\)), cosinus (\(\cos\)) et tangente (\(\tan\))

Angle (x)

sin(x)

cos(x)

tan(x)

\(-2\pi\)

0

1

0

\(-\frac{11\pi}{6}\)

\(\frac{1}{2}\)

-\(\frac{\sqrt{3}}{2}\)

\(\frac{1}{\sqrt{3}}\)

\(-\frac{7\pi}{4}\)

\(\frac{\sqrt{2}}{2}\)

-\(\frac{\sqrt{2}}{2}\)

-1

\(-\frac{5\pi}{3}\)

\(\frac{\sqrt{3}}{2}\)

-\(\frac{1}{2}\)

-\(\sqrt{3}\)

\(-\frac{3\pi}{2}\)

-1

0

Non définie

\(-\frac{4\pi}{3}\)

-\(\frac{\sqrt{3}}{2}\)

-\(\frac{1}{2}\)

\(\sqrt{3}\)

\(-\frac{5\pi}{4}\)

-\(\frac{\sqrt{2}}{2}\)

-\(\frac{\sqrt{2}}{2}\)

1

\(-\frac{7\pi}{6}\)

-\(\frac{1}{2}\)

-\(\frac{\sqrt{3}}{2}\)

\(\frac{1}{\sqrt{3}}\)

\(-\pi\)

0

-1

0

\(-\frac{5\pi}{6}\)

\(\frac{1}{2}\)

-\(\frac{\sqrt{3}}{2}\)

-\(\frac{1}{\sqrt{3}}\)

\(-\frac{3\pi}{4}\)

\(\frac{\sqrt{2}}{2}\)

-\(\frac{\sqrt{2}}{2}\)

-1

\(-\frac{2\pi}{3}\)

\(\frac{\sqrt{3}}{2}\)

-\(\frac{1}{2}\)

-\(\sqrt{3}\)

\(-\frac{\pi}{2}\)

1

0

Non définie

\(-\frac{\pi}{3}\)

\(\frac{\sqrt{3}}{2}\)

\(\frac{1}{2}\)

\(\sqrt{3}\)

\(-\frac{\pi}{4}\)

\(\frac{\sqrt{2}}{2}\)

\(\frac{\sqrt{2}}{2}\)

1

\(-\frac{\pi}{6}\)

\(\frac{1}{2}\)

\(\frac{\sqrt{3}}{2}\)

\(\frac{1}{\sqrt{3}}\)

0

0

1

0

\(\frac{\pi}{6}\)

\(\frac{1}{2}\)

\(\frac{\sqrt{3}}{2}\)

\(\frac{1}{\sqrt{3}}\)

\(\frac{\pi}{4}\)

\(\frac{\sqrt{2}}{2}\)

\(\frac{\sqrt{2}}{2}\)

1

\(\frac{\pi}{3}\)

\(\frac{\sqrt{3}}{2}\)

\(\frac{1}{2}\)

\(\sqrt{3}\)

\(\frac{\pi}{2}\)

1

0

Non définie

\(\frac{2\pi}{3}\)

\(\frac{\sqrt{3}}{2}\)

-\(\frac{1}{2}\)

-\(\sqrt{3}\)

\(\frac{3\pi}{4}\)

\(\frac{\sqrt{2}}{2}\)

-\(\frac{\sqrt{2}}{2}\)

-1

\(\frac{5\pi}{6}\)

\(\frac{1}{2}\)

-\(\frac{\sqrt{3}}{2}\)

-\(\frac{1}{\sqrt{3}}\)

\(\pi\)

0

-1

0

\(\frac{7\pi}{6}\)

-\(\frac{1}{2}\)

-\(\frac{\sqrt{3}}{2}\)

\(\frac{1}{\sqrt{3}}\)

\(\frac{5\pi}{4}\)

-\(\frac{\sqrt{2}}{2}\)

-\(\frac{\sqrt{2}}{2}\)

1

\(\frac{4\pi}{3}\)

-\(\frac{\sqrt{3}}{2}\)

-\(\frac{1}{2}\)

\(\sqrt{3}\)

\(\frac{3\pi}{2}\)

-1

0

Non définie

\(\frac{5\pi}{3}\)

-\(\frac{\sqrt{3}}{2}\)

\(\frac{1}{2}\)

-\(\sqrt{3}\)

\(\frac{7\pi}{4}\)

-\(\frac{\sqrt{2}}{2}\)

\(\frac{\sqrt{2}}{2}\)

-1

\(\frac{11\pi}{6}\)

-\(\frac{1}{2}\)

\(\frac{\sqrt{3}}{2}\)

-\(\frac{1}{\sqrt{3}}\)

\(2\pi\)

0

1

0