Fonctions numérique: Définitions générales#
Définition
Une fonction d’une variable réelle à valeurs réelles est une application \(f:D\rightarrow\mathbb{R},\) où \(D\) est une partie de \(\mathbb{R}.\) En général, \(D\) est un intervalle ou une réunion d’intervalles. On appelle \(D\) le domaine de définition de la fonction \(f\) et on le note souvent par \(D_f\) et on a
Exemple
Le domaine de définition de la fonction \(f(x)=\dfrac{\sqrt{x}}{x-2}\) est \(D_f=[0,2[\cup]2,+\infty[.\)
Soient \(f:D\rightarrow \mathbb{R}\) et \(g:D\rightarrow\mathbb{R}\) deux fonctions définies sur une même partie \(D\) de \(\mathbb{R}.\)
La somme de \(f\) et \(g\) est la fonction \(f+g:D\rightarrow \mathbb{R}\) définie par \((f+g)(x)=f(x)+g(x)\) pour tout \(x\in D.\)
Le produit de \(f\) et \(g\) est la fonction \(f\times g:D\rightarrow \mathbb{R}\) définie par \((f\times g)(x)=f(x)\times g(x)\) pour tout \(x\in D.\)
La multiplication par un scalaire \(\lambda\in \mathbb{R}\) de \(f\) est la fonction \(\lambda.f:D\rightarrow \mathbb{R}\) définie par \((\lambda.f)(x)=\lambda.f(x)\) pour tout \(x\in D.\)
Définition
Soit \(f:D\rightarrow \mathbb{R}\) une fonction. On dit que:
\(f\) est majorée sur \(D\) si \(\exists M\in \mathbb{R},\;\forall x\in D;\; f(x)\leq M;\)
\(f\) est minorée sur \(D\) si \(\exists m\in \mathbb{R},\,\forall x\in D,\, f(x)\geq m;\)
\(f\) est bornée sur \(D\) si \(f\) est à la fois majorée et minorée sur \(D,\) c’est-à-dire si \(\exists M\in \mathbb{R}_{+},\forall x\in D,\,|f(x)|\leq M.\)
Définition
Soit \(f:D\rightarrow \mathbb{R}\) une fonction. On dit que:
\(f\) est croissante sur \(D\) si: pour tout \(x\) et \(y\) dans \(D\) on a \(x\leq y\Rightarrow f(x)\leq f(y).\)
\(f\) est strictement croissante sur \(D\) si: pour tout \(x\) et \(y\) dans \(D\) on a \(x < y\Rightarrow f(x)< f(y)\)
\(f\) est décroissante sur \(D\) si: pour tout \(x\) et \(y\) dans \(D\) on a \(x\leq y\Rightarrow f(x)\geq f(y).\)
\(f\) est strictement décroissante sur \(D\) si: pour tout \(x\) et \(y\) dans \(D\) on a \(x < y\Rightarrow f(x)> f(y).\)
\(f\) est monotone (resp. strictement monotone) sur \(D\) si \(f\) est croissante ou décroissante (resp. strictement croissante ou strictement décroissante) sur \(D.\)
Définition
On dit que:
\(f\) est paire si \(\forall x\in D_f:\) \(-x\in D_f\) et \(\forall x\in D_f\) \(f(-x)=f(x),\)
\(f\) est impaire si \(\forall x\in D_f:\) \(-x\in D_f\) et \(\forall x\in D_f\) \(f(-x)=-f(x),\)
Définition
Soit \(f:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}\) une fonction et \(T\) un nombre réel, \(T>0.\) La fonction \(f\) est dite périodique de période \(T\) si \(\forall x\in \mathbb{R}\) \(f(x+T)=f(x).\)
Exemple
Les fonctions sinus et cosinus sont \(2\pi\)-périodique. La fonction tangente est \(\pi\)-périodique.
Limite d’une fonction numérique#
Limite en un point en l’infini#
Soit \(f\) une fonction définie sur un ensemble de la forme \(]a,x_0[\cup ]x_0,b[,\,x_0\in \mathbb{R}.\)
Définition
Soit \(l\in \mathbb{R}.\) On dit que \(f\) a pour limite en \(x_0\) si
\(\forall \varepsilon>0,\quad \exists \delta>0, \quad x\in D_f:\quad |x-x_0|<\delta\Rightarrow |f(x)-l|<\varepsilon.\)
On dit aussi que \(f(x)\) tend vers \(l\) lorsque \(x\) tend vers \(x_0.\) On note alors \(\lim_{x\rightarrow x_0}f(x)=l\) ou bien \(\lim_{x_0}f(x)=l.\)
Définition
On dit que \(f\) a pour limite \(+\infty\) en \(x_0\) si
\(\forall A>0, \quad \exists \delta>0, \quad x\in I:\quad |x-x_0|<\delta\Rightarrow f(x)>A.\)
On note alors \(\lim_{x\rightarrow x_0}f(x)=+\infty.\)
On dit que \(f\) a pour limite \(-\infty\) en \(x_0\) si
\(\forall A>0, \quad \exists \delta>0, \quad x\in I:\quad |x-x_0|<\delta\Rightarrow f(x)<-A.\)
On note alors \(\lim_{x\rightarrow x_0}f(x)=-\infty.\)
Soit \(f:I\rightarrow\mathbb{R}\) une fonction définie sur un intervalle de la forme \(I=]a,+\infty[.\)
Définition
Soit \(l\in \mathbb{R}.\) On dit que \(f\) a pour limite \(l\) en \(+\infty\) si
\(\forall \varepsilon>0,\quad \exists B>0, \quad x\in I:\quad x> B\Rightarrow |f(x)-l|<\varepsilon.\)
On note alors \(\lim_{x\rightarrow +\infty}f(x)=l\) ou \(\lim_{+\infty}=l.\)
On dit que \(f\) a pour limite \(+\infty\) en \(+\infty\) si
\(\forall A>0,\quad \exists B>0, \quad x\in I:\quad x> B\Rightarrow f(x)>A.\)
On note alors \(\lim_{x\rightarrow +\infty}f(x)=+\infty\)
On définirait de la même manière la limite en \(-\infty\) pour des fonctions définies sur les intervalles de type \(]-\infty,a[.\)
Exemple
On a les limites classiques suivantes pour tout \(n\geq 1:\)
\(\lim_{x\rightarrow +\infty}x^n=+\infty\) et \(\lim_{x\rightarrow-\infty}x^n=\left\{ \begin{array}{ll} +\infty \quad\mbox{si} \;n\;\mbox{est pair}\\ -\infty \quad\mbox{si}\;n\;\mbox{est impair} \end{array} \right.\)
\(\lim_{x\rightarrow \pm\infty}(\dfrac{1}{x^n})=0\)
Soient \(P(x)=a_n x^n+a_{n-1}x^{n-1}+...+a_1 x+a_0\) et \(Q(x)=b_m x^m+b_{m-1}^{m-1}+...+b_1 x+b_0\) deux polynômes (\(a_n\neq0\) et \(b_m\neq 0\)). On a
\(\lim_{x\rightarrow\pm\infty}P(x)=\lim_{x\rightarrow\pm\infty}a_n x^n\) et \(\lim_{x\rightarrow\pm\infty}\dfrac{P(x)}{Q(x)}=\left\{ \begin{array}{ll} \pm\infty \quad\mbox{ si } \; n>m\\ \dfrac{a_n}{b_m} \quad\mbox{si}\;n=m\\ 0 \quad\mbox{si} n<m \end{array} \right.\)
Les fonctions sin et cos n’admettent pas de limite ni en \(+\infty\) ni en \(-\infty.\)
Limite à gauche et à droite en un point#
Définition
Soit \(f\) une fonction définie sur un intervalle \(]x_0,b[\) (resp. \(]a,x_0[\)). On dit que \(f\) admet une limite \(\ell\in \mathbb{R}\) à droite (resp. à gauche) en \(x_0\) si
\(\forall \varepsilon>0,\quad \exists\delta>0,\quad \forall x\in D_f:\quad x_0< x<x_0+\delta\) (resp. \(x_0-\delta< x< x_0)\Rightarrow |f(x)-l|<\varepsilon.\)
On écrit alors \(\lim\limits_{\substack{x \rightarrow x_0 \\ x>x_0}} f(x)=l\) (resp. \(\lim\limits_{\substack{x \rightarrow x_0 \\ x<x_0}} f(x))=l.\)
On note aussi \(\lim\limits_{\substack{x_{0}^{+}}}f\) pour la limite à droite et \(\lim\limits_{\substack{x_{0}^{-}}}f\) pour la limite à gauche.
Proposition
Soit \(\ell\in \mathbb{R}.\) On a \(\lim\limits_{\substack{x \rightarrow x_0}}f(x)=\ell\Leftrightarrow \lim\limits_{\substack{x \rightarrow x_{0}^{+}}}f=\lim\limits_{\substack{x \rightarrow x_{0}^{-}}}f=\ell.\)
Exemple
Considérons la fonction \(f(x)=\left\{ \begin{array}{ll} x-2 \quad\mbox{si} \;x\geq 1,\\ x+1 \quad\mbox{si}\;x<1. \end{array} \right.\)
On a \(\lim\limits_{\substack{x \rightarrow 1^{-}}}f(x)=\lim\limits_{\substack{x \rightarrow 1^{-}}}(x+1)=2\) et \(\lim\limits_{\substack{x \rightarrow 1^{+}}}f(x)=\lim\limits_{\substack{x \rightarrow 1^{+}}}(x-2)=-1.\)
Comme \(\lim\limits_{\substack{x \rightarrow 1^{-}}}f(x)\neq\lim\limits_{\substack{x \rightarrow 1^{+}}}f(x),\) on en déduit que \(f\) n’a pas de limite en 1.
Propriétés#
Proposition
Si une fonction admet une limite, alors cette limite est unique.
Soient deux fonctions \(f\) et \(g.\) On suppose que \(x_0\) est un réel, ou que \(x_0=\pm\infty.\)
Proposition
Si \(\lim\limits_{\substack{x_{0}}}f=\ell\in \mathbb{R}\) et \(\lim\limits_{\substack{x_{0}}}g=\ell'\in \mathbb{R},\) alors:
\(\lim\limits_{\substack{x_{0}}}(\lambda. f)=\lambda.\ell\) pour tout \(\lambda\in \mathbb{R}\)
\(\lim\limits_{\substack{x_{0}}}(f+g)=\ell+\ell'\)
\(\lim\limits_{\substack{x_{0}}}(f\times g)=\ell\times \ell'\)
Si \(\ell\neq0,\) alors \(\lim\limits_{\substack{x_{0}}}\dfrac{1}{f}=\dfrac{1}{\ell}\)
Si \(\lim\limits_{\substack{x_{0}}}f=\pm\infty,\) alors \(\lim\limits_{\substack{x_{0}}}\dfrac{1}{f}=0.\)
Voici une liste de formes indeterminées:
Proposition
Si \(f\leq g\) et si \(\lim\limits_{\substack{x_{0}}}f=\ell\in \mathbb{R}\) et \(\lim\limits_{\substack{x_{0}}}g=\ell'\in \mathbb{R},\) alors: \(\ell\leqslant\ell'.\)
Si \(f\leq g\) et si \(\lim\limits_{\substack{x_{0}}}f=+\infty,\) alors \(\lim\limits_{\substack{x_{0}}}g=+\infty.\)
Si \(f\leq g\leq h\) et si \(\lim\limits_{\substack{x_{0}}}f=\lim\limits_{\substack{x_{0}}}h=\ell\in \mathbb{R},\) alors \(g\) a une limite en \(x_0\) et \(\lim\limits_{\substack{x_{0}}}g=\ell.\)
Continuité d’une fonction numérique#
Définition
Soit \(f\) une fonction définie en un voisinage de \(x_0.\) On dit que \(f\) est continue en \(x_0\) si \(\lim\limits_{\substack{x\rightarrow x_{0}}}f(x)=f(x_0).\)
Soit \(f\) une fonction définie en un intervalle de type \(]x_0-\varepsilon, x_0].\) On dit que \(f\) est continue à droite en \(x_0\) si \(\lim\limits_{\substack{x\rightarrow x_{0}^{+}}}f(x)=f(x_0).\)
Soit \(f\) une fonction définie en un intervalle de type \([x_0,x_0+\varepsilon[.\) On dit que \(f\) est continue à gauche en \(x_0\) si \(\lim\limits_{\substack{x\rightarrow x_{0}^{+}}}f(x)=f(x_0).\)
Définition
Soit \(f\) une fonction définie en un voisinage de \(x_0.\) On a \(f\) est continue en \(x_0\Leftrightarrow\lim\limits_{\substack{x\rightarrow x_{0}^{+}}}f(x)=\lim\limits_{\substack{x\rightarrow x_{0}^{-}}}f(x)=f(x_0)\)
Définition
Une fonction \(f\) est dite continue sur un intervalle ouvert \(I\subset D_f\) si elle est continue en tout point de \(I.\)
Une fonction \(f\) est dite continue sur un intervalle \([a,b]\subset D_f\) si elle est continue sur \(]a,b[\) et continue à droite en \(a\) et à gauche en \(b.\)
Une fonction \(f\) est dite continue sur un intervalle \([a,b[\subset D_f\) si elle est continue sur \(]a,b[\) et continue à droite en \(a.\)
De même, on définit la continuité d’une fonction sur un intervalle \(]a,b],\) sur \(]-\infty,a],\) sur \([a,+\infty[,\)…
Exemple
La fonction racine carrée \(x\mapsto \sqrt{x}\) est continue sur \([0,+\infty[.\)
Les fonctions sin et cos sont continues sur \(\mathbb{R}.\)
La fonction valeur absolue \(x\mapsto |x|\) est continue sur \(\mathbb{R}.\)
Proposition
Soient \(f,\,g:I\rightarrow\mathbb{R}\) deux fonctions continues en un point \(x_0\in I.\) Alors
\(\lambda.f\) est continue en \(x_0\) (pour tout \(\lambda\in \mathbb{R}\)),
\(f+g\) est continue en \(x_0.\)
\(f\times g\) est continue en \(x_0.\)
Si \(f(x_0)\neq0,\) alors \(\dfrac{1}{f}\) est continue en \(x_0.\)
Exemple
Les polynômes sont continues sur \(\mathbb{R}.\)
Toute fraction rationnelle \(x\mapsto\dfrac{P(x)}{Q(x)}\) est continue sur son domaine de définition.
La composition conserve la continuité (mais il faut faire attention en quels points les hypothèse s’appliquent)
Proposition
Soient \(f:I\rightarrow\mathbb{R}\) et \(g:J\rightarrow\mathbb{R}\) deux fonctions telles que \(f(I)\subset J.\) Si \(f\) est continue en un point \(x_0\in I\) et si \(g\) est continue en \(f(x_0),\) alors \(g\circ f\) est continue en \(x_0.\)
Prolongement par continuité#
Définition
Soit \(I\) un intervalle, \(x_0\) un point de \(I\) et \(f:I\setminus\{x_0\}\rightarrow\mathbb{R}\) une fonction.
On dit que \(f\) est prolongeable par continuité en \(x_0\) si \(f\) admet une limite finie en \(x_0.\) Notons alors \(\ell=\lim\limits_{\substack{x_{0}}}f.\)
On définit alors la fonction \(\widetilde{f}:I\rightarrow\mathbb{R}\) en posant pour tout \(x\in I\)
\(\widetilde{f}(x)=\left\{ \begin{array}{ll} f(x) \quad\mbox{si} \;x\neq x_0\\ \ell \quad\mbox{si}\;x=x_0. \end{array} \right.\)
Alors \(\widetilde{f}\) est continue en \(x_0\) et on l’appelle le prolongement par continuité de \(f\) en \(x_0.\)
Exemple
Considérons la fonction \(f\) définie sur \(\mathbb{R}-\{1\}\) par \(f(x)=\dfrac{x^2+x-2}{x-1}.\) Etudions le prolongement par continuité de \(f\) en 1. On a
Donc \(f\) est prolongeable par continuité en 1. Le prolongement par continuité de \(f\) en 1 est donc \(\widetilde{f}(x)=\left\{ \begin{array}{ll} f(x) \quad\mbox{si} \;x\neq 1\\ 3 \quad\mbox{si}\;x=1. \end{array} \right.\)
Théorème des valeurs intermédiaires#
Théorème (Théorème des valeurs intermédiaires)
Soit \(f:[a,b]\rightarrow\mathbb{R}\) une fonction continue sur un segment. Pour tout réel \(y\) compris entre \(f(a)\) et \(f(b),\) il existe \(c\in [a,b]\) tel que \(f(c)=y.\)
Voici la version la plus utilisée du théorème des valeurs intermédiaires.
Corollaire
Soit \(f:[a,b]\rightarrow\mathbb{R}\) une fonction continue sur un segment. Si \(f(a).f(b)<0,\) alors il existe \(c\in ]a,b[\) tel que \(f(c)=0.\)
Exemple
Tout polynôme de degré impair possède au moins une racine réelle. En effet, un tel polynôme s’écrit \(P(x)=a_n x^n+...+a_1 x+a_0\) avec \(n\) un entier impair. On peut supposer que le coefficient \(a_n\) est strictement positif. Alors on a \(\lim\limits_{\substack{x\rightarrow-\infty}}P(x)=-\infty\) et \(\lim\limits_{\substack{x\rightarrow+\infty}}P(x)=+\infty.\) En particulier, il existe deux réel \(a\) et \(b\) tels que \(P(a)<0\) et \(P(b)>0\) et on conclut grâce au corollaire précédent qu’il existe au moins \(c\in \mathbb{R}\) tel que \(P(c)=0.\)
Voici une formulation théorique du théorème des valeurs intermédiaires
Corollaire
Soit \(f:I\rightarrow\mathbb{R}\) une fonction continue sur un intervalle \(I.\) Alors \(f(I)\) est un intervalle.
Attention! Il serait faux de croire que l’image par une fonction \(f\) de l’intervalle \([a,b]\) soit l’intervalle \([f(a), f(b)]\). Cependant, on a le théorème suivant
Théorème
Soit \(f:[a,b]\rightarrow\mathbb{R}\) une fonction continue sur un segment. Alors il existe deux réels \(m\) et \(M\) tels que \(f([a,b])=[m,M].\) Autrement dit, l’image d’un segment par une fonction continue est un segment.
Comme on sait déjà par le théorème des valeurs intermédiaires que \(f([a,b])\) est un intervalle, le théorème précédent signifie que si \(f\) est continue sur \([a,b],\) alors \(f\) est bornée sur \([a,b],\) et elle atteint ses bornes: \(m\) est le minimum de la fonction sur l’intervalle \([a,b]\) alors que \(M\) est bon maximum sur \([a,b].\)
Théorème de la bijection#
Définition
Soit \(f:E\rightarrow F\) une fonction, où \(E\) et \(F\) sont des parties de \(\mathbb{R}.\)
\(f\) est injective \(\forall x,x'\in E,\; f(x)=f(x')\Rightarrow x=x';\)
\(f\) est surjective si \(\forall y\in F,\exists x\in E,\;y=f(x);\)
\(f\) est bijective si \(f\) est à la fois injective et surjective, c’est-à-dire si \(\forall y\in F,\,\exists! x\in E:\;y=f(x).\)
Proposition
Si \(f:E\rightarrow F\) est une fonction bijective alors il existe une unique application \(g:F\rightarrow E\) telle que \(g\circ f=\mbox{Id}_E\) et \(f\circ g=\mbox{Id}_F.\) La fonction \(g\) est la bijection réciproque de \(f\) et se note \(f^{-1}.\)
\(\diamond\) On rappelle que l’identité, Id\(_E:E\rightarrow E\) est simplement définie par \(x\mapsto x.\)
\(\diamond\) \(g\circ f=\)Id\(_E\) se reformule ainsi: \(\forall x\in E,\quad g(f(x))=x.\)
\(\diamond\) Alors que \(f\circ g=\mbox{Id}_F\) s’écrit: \(\forall y\in F\quad f(g(y))=y.\)
Le théorème suivant est un outil très utile dans la pratique pour montrer qu’une fonction est bijective.
Théorème (Théorème de la bijection)
Soit \(f:I\rightarrow\mathbb{R}\) une fonction définie sur un intervalle \(I\) de \(\mathbb{R}.\) Si \(f\) est continue et strictement monotone sur \(I,\) alors
\(f\) établit une bijection de l’intervalle \(I\) dans l’intervalle \(J=f(I),\)
La fonction réciproque \(f^{-1}:J\rightarrow I\) est continue et strictement monotone sur \(J\) et elle a le même sens de variation que \(f.\)
Exemple
Considérons la fonction carrée définie sur \(\mathbb{R}\) par \(f(x)=x^2.\) La fonction \(f\) est continue et est strictement croissante sur \(I=[0,+\infty[,\) donc \(f\) établit une bijection de \(I\) dans \(J=f([0,+\infty[)=[0,+\infty[.\) Déterminons sa fonction réciproque: Soit \(x\) et \(y\) dans \(\mathbb{R}_{+},\) on a
Donc \(f^{-1}(x)=\sqrt{x},\) pour tout \(x\in \mathbb{R}_{+}.\)
Généralisons en partie l’exemple précédent;
Exemple
Soit \(n\geq 1.\) Soit \(f:[0,+\infty[\rightarrow [0,+\infty[\) définie par \(f(x)=x^n.\) On a \(f\) est continue et strictement croissante. Donc \(f\) admet sur \(I=[0,+\infty[\) une fonction réciproqie \(f^{-1}\) définie sur \(J=f([0,+\infty[)=[0,+\infty[.\)
\(f^{-1}\) est notée: \(x\mapsto x^{\frac{1}{n}}\) ou aussi \(x\mapsto \sqrt[n]{x};\) c’est la fonction racine \(n-\)ième. Elle est continue et strictement croissante sur \([0,+\infty[.\)
Application: Fonctions Logarithme et exponentielle#
Proposition
Il existe une unique fonction, notée \(\ln:]0,+\infty[\rightarrow\mathbb{R}\) telle que:
De plus, cette fonction vérifie (pour tout \(a,b>0\)):
\(\ln(a\times b)=\ln(a)+\ln(b).\)
\(\ln(\dfrac{1}{a})=-\ln a,\)
\(\ln (a^n)=n\ln(a),\) (pour tout \(n\in \mathbb{N}\)).
\(\ln\) est une fonction continue, strictement croissante et définit une bijection de \(]0,+\infty[\) sur \(\mathbb{R}.\)
\(\lim\limits_{\substack{x\rightarrow0}}\dfrac{\ln(1+x)}{x}=1.\)
Définition
La bijection réciproque de \(\ln:]0,+\infty[\rightarrow\mathbb{R}\) s’appelle la fonction exponentielle, notée exp\(:\mathbb{R}\rightarrow]0,+\infty[.\)
Proposition
La fonction exponentielle vérifie les propriétés suivantes:
exp\((\ln (x))=x\) pour tout \(x>0\) et \(\ln(\mbox{exp}(x))=\) pour tout \(x\in \mathbb{R}\)
exp\((a+b)=\mbox{exp}(a)\times \mbox{exp}(b)\)
exp\((nx)=(\mbox{exp}(x))^n\)
exp\(:\mathbb{R}\rightarrow]0,+\infty[\) est une fonction continue, strictement croissante vérifiant \(\lim\limits_{\substack{x\rightarrow-\infty}}\mbox{exp}(x)=0\) et \(\lim\limits_{\substack{x\rightarrow+\infty}}\mbox{exp}(x)=+\infty\)
La fonction exponentielle est dérivable et \(\mbox{exp}'(x)=\mbox{exp}(x),\) pour tout \(x\in \mathbb{R}.\)
Remarque
La fonction exponentielle est l’unique fonction qui vérifie exp\('(x)=\)exp\((x)\) (pour tout \(x\in \mathbb{R}\)) et exp\((1)=e,\) où \(e\simeq2.718...\) est le nombre qui vérifie \(\ln (e)=1.\)
Par définition, pour \(a>0\) et \(b\in \mathbb{R},\,\) \(a^b=\mbox{exp}(b\ln (a))\)
Remarque
\(\sqrt{a}=a^{\dfrac{1}{2}}=\mbox{exp}(\dfrac{1}{2}\ln (a))\)
\(\sqrt[n]{a}=a^{\dfrac{1}{n}}=\mbox{exp}(\dfrac{1}{n}\ln (a))\) ( la racine \(n\)-ième de \(a\))
On note aussi \(\mbox{exp}(x)\) par \(e^x\) ce qui se justifie par le calcul: \(e^x=\mbox{exp}(x\ln (e))=\mbox{exp}(x).\)
Les fonctions \(x\mapsto a^x\) s’appellent aussi des fonctions exponentielles et se ramènent systématiquement à la fonction exponentielle classique par l’égalité \(a^x=\mbox{exp}(x\ln (a)).\) Il ne faut surtout pas les confondre avec les fonctions puissances \(x\mapsto x^a.\) On a les propriété suivantes;
Proposition
Soient \(x,y>0\) et \(a,\,b\in \mathbb{R}.\)
\(x^{a+b}=x^a x^b\)
\(x^{-a}=\dfrac{1}{x^a}\)
\((xy)^a=x^a y^a\)
\((x^a)^b=x^{ab}\)
\(\ln(x^a)=a\ln (x)\)
Comparons les fonctions \(\ln (x),\,\mbox{exp}(x)\,\) avec \(x:\)
Proposition